Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
декартовой системы координат пользоваться левой!
Что такое компоненты вектора! По какому правилу определяется их знак!
44
Глава 2. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА
I
Радиус-вектор не связан с существованием какой-либо системы координат.
Если выбрать конкретную систему координат, то радиус-вектор можно
выразить в этой системе.
10.
Компоненты радиуса-вектора г в пространственной декартовой системе
координат (а) и произвольного вектора А в той же системе на плоскости (б)
Компонентами вектора называются его проекции на оси координат. Компоненты
являются алгебраическими величинами, и их знак определяется знаком
косинуса угла между направлениями вектора и единичного вектора
соответствующей оси. Компоненты радиуса-вектора - это координаты точки,
характеризуемой им
точки (рис. 9). Этот вектор называется радиусом-вектором. Если положение
точки задается радиусом-вектором, то нет необходимости использовать
какую-либо систему координат. При этом упрощаются и делаются более
наглядными многие физические соотношения. Поэтому, как правило, мы будем
везде оперировать с векторами, а положение точек характеризовать их
радиусами-векторами. Переход к координатам при необходимости может быть
всегда осуществлен по раз и навсегда установленным формулам, которые
сейчас будут выведены.
Компоненты вектора в декартовой системе координат. Пусть некоторая точка
О принята за начало отсчета. Возьмем (прямоугольную) декартову систему
координат, начало которой совпадает с точкой О. Положение любой точки
можно охарактеризовать либо ее радиусом-вектором г, либо тремя числами
(х, у, z), являющимися декартовыми координатами этой точки. Установим
связь между г и числами х, у, г. Для этого полезно ввести единичные
безразмерные векторы, направленные вдоль положительных значений осей х,
у, z и обозначаемые соответственно как i, j, к. Принимая во внимание
правило сложения векторов (6.1) и формулу (6.7), можно, как это непосред-
6. Векторы
45
ственно видно на рис. 10, а, представить радиус-вектор г в виде суммы
трех векторов (ire, jy и kz), также направленных вдоль осей координат:
r = ix-f jy-f kz. (6.8)
Числа х, у, г называются компонентами радиуса-вектора г. Они совпадают с
координатами точки, которую характеризует г.
Не только радиус-вектор, но и любой другой вектор может быть представлен
в виде суммы векторов, направленных вдоль осей координат (рис. 10, б):
A=iAx + }Ау + кАх. (6.9)
Числа Ах, Ау, Az называются компонентами вектора А вдоль осей х, у, z.
Для того чтобы уметь вычислять компоненты вектора и выражать все
векторные операции в координатной форме, необходимо знать несколько
соотношений между единичными векторами i, j, k.
Соотношение между векторами i, j, к. Принимая во внимание, что эти
векторы взаимно перпендикулярны и единичны, получаем:
i2 = j2=;k2 = 1, (6.10)
(", j) = 0, (i, k) = 0, (j, k) = 0.
Согласно определению векторного произведения, сразу находим: [i, j] = k,
[j, k] = i, [k, i]=j,
P, 4 = 0, [j, j] = 0, [k, k] = o. '• }
Вычисление компонент вектора. Умножая скалярно левую и правую части
равенства (6.9) последовательно на i, j, к и принимая во внимание (6.10),
сразу получаем:
АХ = (А, i), АУ = (А, j) А2 = (А, к). (6.12)
Нетрудно видеть, что компоненты векторов по осям декартовой прямоугольной
системы координат являются не чем иным, как проекциями этих векторов на
оси, вычисленные с учетом знака. Например,
АХ = (А, i) = | А11 i | cos (A, i) = j А | cos (A, i),
где (A, i) - угол между вектором А и направлением оси х, что и доказывает
сделанное утверждение. Аналогичным образом обстоит дело с другими
компонентами.
Выражение векторных операций в координатах. Для получения этих выражений
необходимо векторы представить в виде (6.9) и
46
Глава 2. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА
воспользоваться полученными ранее формулами для единичных векторов. Пусть
задано:
Таким образом, компоненты суммы двух векторов равны сумме соответствующих
компонент слагаемых:
Нетрудно видеть, что аналогичным образом умножение вектора на число
сводится к умножению каждой из его компонент на это число. Для скалярного
произведения с учетом (6.10) получим следующее выражение:
Для векторного произведения прямое вычисление с учетом (6.12) дает
Преобразование декартовых координат. Используя векторные представления,
легко найти формулы преобразования координат при переходе от одной
декартовой системы к другой. В общем случае не совпадают ни начало систем
координат, ни направление осей, как это изображено на рис. 11. Положение
начала штрихованной системы координат относительно начала нештрихованной
задается вектором а. Из чертежа непосредственно видно, что радиусы-
векторы гиг', характеризующие положение точки в нештрихованной и
штрихованной системах, связаны соотношением
Если гиг' выразить через их компоненты по соответствующим осям координат,
то можно написать:
Для нахождения связи между координатами точек необходимо скалярно
