Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
б).
Скалярное произведение. Скалярным произведением (А, В) двух векторов А и
В называется число, равное произведению абсолютных значений векторов на
косинус угла между ними:
(А, В) = | А 11 В | cos (А, В).
(А, В) = (В, А),
(А, В+С) = (А, В)+ (А, С), (А, аВ) - а (А, В),
(6.4)
6.
Сложение векторов
Правило сложения векторов является естественным обобщением очевидного
правила сложения перемещений
I
Направление в пространстве определяется двумя числами.
(6.3)
Нетрудно проверить, что для скалярного произведения справедливы следующие
правила:
(<х<0)
7.
(*>0)
б)
где а - произвольное число.
Коммутативность сложения векторов (а) .и умножение вектора на число (б)
Сумма двух векторов не зависит от порядка слагаемых. При умножении
вектора на отрицательное число его направление меняется на обратное
42
Глава 2. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА
Векторное произведение [А, В] =D
Этот вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат перемножаемые
векторы
1
е
Перемещение не есть отрезон траектории.
Правило слошения вен-торов есть определение, целесообразность которого
подтвершдается свойствами ряда простейших физических величин.
Физическая величина, характеризующаяся тремя числами, чаще всего является
вектором. Однако это не всегда. Чтобы быть вектором, она дол-шна
определенным образом преобразовываться при переходе от одной системы
координат н другой.
Векторное произведение. Векторным произведением [А, В1 векторов А и В
называется вектор D = [А, В], определяемый следующим образом (рис. 8):
1) он перпендикулярен плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы А
и В, и направлен в ту сторону, в которую будет двигаться винт, если его
головку вращать в том же направлении, в каком необходимо поворачивать
вектор А для совпадения с вектором В по кратчайшему пути. Иначе говоря,
векторы А, В и [А, В] друг относительно друга ориентированы так же, как и
положительные направления осей х, у, z правохх системы координат;
2) по абсолютному значению он равен произведению абсолютных значений
перемножаемых векторов на синус угла между ними:
| D | = | А, В | = [ А [ | В | sin (АГВ). (6.5)
Здесь существенно, что угол между векторами А и В отсчитывается от
первого сомножителя А ко второму В по кратчайшему расстоянию, т. е. угол
меньше или равен л, благодаря чему синус в (6.5) не может быть
отрицательным. Как видно из (6.5), можно также сказать, что абсолютное
значение векторного произведения равно площади параллелограмма,
построенного на перемножаемых векторах (рис. 8).
Легко проверить следующие свойства векторного произведения:
(6.6)
Представление векторов с помощью единичного вектора. Направление вектора
можно указать с помощью единичного безразмерного вектора. Любой век-
[А, В]--[В, А],
[А, В + С] = [А, В] + [А, С], [А, аВ] = а[А, В].
6. Векторы
43
тор А можно представить в следующем виде:
А = ¦
IАI = n I А | = пА,
(6.7)
где п = А/| А | есть единичный безразмерный вектор, фиксирующий
направление вектора А.
Преимущества векторных обозначений. Понятие вектора и все связанные с ним
операции вводятся независимо от какой-либо системы координат. Благодаря
этому имеется возможность оперировать непосредственно физическими
величинами, не обращаясь к их выражению в какой-либо конкретной системе
координат. Различные соотношения между физическими величинами в векторной
форме обычно имеют значительно более простой и наглядный вид, чем в
соответствующей координатной форме. Все это составляет большое
преимущество векторных обозначений и обеспечивает им широкое применение.
С другой стороны, очень часто проведение конкретных численных расчетов
гораздо проще в координатной форме, где они носят чисто арифметический
характер. Если расчеты проводить непосредственно по векторным формулам,
не обращаясь к координатной системе, то наряду с арифметикой необходимо
зачастую пользоваться довольно сложными пространственными геометрическими
представлениями, что не всегда удобно. Поэтому важно уметь записывать все
векторные выражения и операции в координатной форме. В первую очередь
необходимо это уметь делать в декартовых координатах.
Радиус-вектор. Положение точки характеризуется тремя числами в
соответствующей системе координат. Каждую точку можно представить себе
как конечный пункт перемещения из некоторой начальной, называемой началом
отсчета, и характеризовать вектором перемещения, соединяющим начальную и
рассматриваемую
\
Сумма и скалярное произведение венторов не зависят от порядна венторов.
9.
К понятию радиуса-вектора
Положение любой точки пространства относительно точки О. принятой за
начальную, полностью характеризуется ее радиусом-вектором Г
Какие два способа геометрического построения суммы векторов Вы знаете!
Зависит ли скалярное произведение от порядка сомножителей! Докажите свой
ответ. Как зависит векторное произведение от порядка сомножителей!
Изменится ли определение векторного произведения, если вместо правой
