Статистические теории в термодинамике - Лоренц Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
Ц + (РА-М)Ц=Х(А)Ф. (26)
Здесь х(А) = IY^r) равно нулю, что легко получается из
V ОТ J T=O L V OA / T=о
сингулярности ф для г = Оj.
Интегрирование (26) дает для z = 1о§Ф:
z =
/ ?Х^+Р[(х~р)е Р‘ + Р’4 ^
где F — произвольная функция. Обращение (23) дает:
+гоо
/(V’ *’ t] = (2^ /f eZ+XV+"X dX (^)
—гоо
Исходя из (?#) и принимая во внимание (26), легко убеждаемся в том, что / удовлетворяет обобщенному уравнению Эйнштейна-Фок к е р а:
df „ 0/ . df
dt
= P/ + Pvt+vt+x(?)f. m
Дополнения редактора
179
4. Функции распределения для скоростей и для координат получаются из f(v, х, ?) интегрированием:
+ OO
+ OO
fi(v, t) = J f(v, х, і) dx, /2(ж, t) = j f(v! xI t)
(50)
-OO
-OO
И
Из (##) они получаются, если положить /х (или Л) равным нулю
і
опустить множитель —- и соответствующее интегрирование [что
+ OO
следует из известного представления функции ё: f d? = 2'кё(г])
— оо
Можно также без труда внести в (28) вместо произвольной функции F начальное значение f(v , х, 0):
ехр
у
+Аг? + /їх —
-Pt , Zi
|гл — /ії/j f(u, у, 0) с?А d/і du dy,
(«)
где пределы интегрирования по А и /х равны =Lzoo, по и и по у равны =Loo, ехр ? обозначает и знак f стоит вместо интеграла формулы (?7).
5. Для A = O (?7) имеет вид:
log Ф
О
/
X(A) rfA PA — //
+ F
^(1-е р*), ц
(32)
? (1-е-™)
для /х = 0 имеем:
log$
Л
/
X(A)dA
+ F(Ae-pt, 0).
/Li—о ,/ -PA
Xe~Pt
(33)
Из (5?) и (55) следует для таких времен ?, что можно пренебречь членами, имеющими множитель e~Pt:
— ФІ = О
L=O ’
А
Ot
Ф
A=O
=*(?)ф,
\Р/ IA=O
(34)
(35)
180 Дополнения редактора
т. е. для рассматриваемых времен уже установилось предельное (?—>¦ ос) распределение для скоростей и, с другой стороны, для координат это не имеет места. Уравнение (35), как легко видеть, эквивалентно обычному уравнению диффузии для f2(x, t):
Sh = .н)
dt Qx2
если еще положить
*(?) = ?(#)’• ^
л ---
причем — есть средний квадрат скорости V2. Для коэффициента диф-фузии получается верное значение:
С=2Ь = Т <38>
/ гл п QttOjC IcrF1 \
(для закона Стокса имеем: P = HiJ= ' = -Pl—-).
т 07Г aQ 07Г aQ
Таким образом, для времен от t = 0 до «e~Pt не мало» нужно рассматривать f(v, х, t), удовлетворяющую (29); если e~Pt ~ 0, то имеем уже Максвеллово распределение скоростей, а функция f2(x, t) удовлетворяет уравнению диффузии; наконец, для t —> оо получается стационарное распределение для координат.
6. Мы получили для плотности вероятности фазы (состояния движения) свободной броуновской частицы следующее выражение:
+гоо
/(w’ f) = йЬ* /1 eZ+XV+flX dX (39)
—гоо
где
Z =
И)
Полагаем t = 0 и вводим обозначение:
f(v, х, 0) = g(v, х). (41)
Дополнения редактора
181
Тогда имеем:
!=0 = F{\ М)
и обращение (39) дает нам
+ OO
//
— оо
и, следовательно.
expF^A-^e Pt + ^, ц
+ OO
JJexP[— {(а — р)е Ft + p}v~Vх
g(v, х) dv dx.
— OO
Отсюда имеем окончательно:
f(v, ж, і) =
ыш
(2п г)
ехр
I + Xv + /IX —
^u- цуJ 2/) с?А djji du dy,
U*)
U*)
Ш)
US)
где интегрировать по А и /х следует от —гоо до +гоо, а по и и у от —оо до +оо и обозначает интеграл в (40). (45) есть данное без доказательства выражение (31). Полагаем теперь функцию х(А) равной
X(A) = ?а*
(46)
где — равно среднему квадрату скорости при равновесии. После про-
Liil
стой выкладки имеем:
I — суА2 + (З/j'2 + 'у А /і,
(47)
где
[2Pt - 3 + 4е
-Pt „-2 Pt
AaP2
— е
ь
^1-26
р + е 2Pt]
= 2^1
— е р*)2.
182
Дополнения редактора
Показатель в (45) имеет, таким образом, вид:
CtX2 H- /3[л? H- 7Л/І H- ?А H- tj/jl.
(49)
где ? и 77 имеют следующие значения:
? = V — ue~Pt,
Г] = X -у - -(1
— е
-Pt
)
(50)
Выполняя в (45) интегрирование по А и /х, получаем:
+ OO
/3?2 + aif - 7^
f(v, х, t) =---------- // ехр
27г-у/4а/? — 72 J J
g(u, у) du dy.
—00
(5/)
Это общая формула, позволяющая вычислить плотность вероятности фазы для любого t ^ О по ее начальному значению. Для 4а(3 — 72 получаем:
^P - 72 = [«(1 - в-) - 2(1 - в-)2] •
(52)
Если в момент t = О все частицы находятся в точке х = и все имеют скорость V = г?о, то следует положить
g(u, у) = <5(гл — г;)5(ж — жо); и (5І) дает нам в этом случае:
(53)
f(v, X, t\ V0, Жо) =
2тї Аа/З — 72
ехр
/?2 + ат?2 - 7^ 4а/3 — 72
(^)
причем
-Pt
? = V — V о в
VО /I —Ht\
Г] = X — Xo — — (1 — е J.
(55)
7. Функции распределения для скоростей и смещений получаются из (^5) интегрированием по х и v соответственно:
+ OO
+ OO
fi(v, t) = J f(v, х, t) dx, f2(x, t) = J f(v, x, t) dv.
(56)
-OO
-OO
Дополнения редактора
183
Так как х и v в (45) стоят только в показателе в виде Xv и /їх, то в силу известного представления ^-функции
+ OO
— оо
функции /і и /2 получаются, если мы в (45) полагаем равными нулю /х или Л и отбрасываем соответствующее интегрирование и делитель 2пі. Простая выкладка дает нам:
