Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
I, Zierler 15].
Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема (БЧХ-коды) были ввш дены в работах
Hocquenghem (lj, Bose, Ray-Chaudhuri fl ] дл^ бинарного случая и в работе
Gorenstem, Zierler П 3 для случай^ произвольного конечного поля. Питерсон
показал (см. Petersop? Ц|), что БЧХ-коды являются циклическими кодами.
Другими ос-новопол а тающими работами но БЧХ-кодам являются статьи Bose,
Ray-Chaudhuri f2 ] и Mattson, Solomon [1 3. Обобщения тесь| ремы 9.45
можно найти в работе Hartmann, Tzeng fl ]. Результаты о минимальном
расстоянии н распределении весов в БЧХ-кодаж^ можно найти в работах
Berlekamp [5], Goldman, Kliman, Smola fl], MacWilliams. Sloane f2, ch.
9], Peterson f2 3. и Peterson* Weldon П, ch. 9 ].
Первый алгоритм для декодирования БЧХ-кодов был описан Питерсоном в
работе Peterson fl3. Другие декодирующие алгоритмы были предложены в
работах Berlekamp fl], Forney III, Gorenstem, Zierler fl ], Massey 12 3
до того, как Берлекэмп (Berlekamp ]4 ]) и Месси (Massey 34 ]) иолучили
свой эффективный алгоритм (см. также § 6 гл. 8 настоящей монографии). Для
случая малого числа ошибок этот результат был улучшен в раббт^ Chen С. L.
12 3. Связь между непрерывными дробями, алгоритмом Евклида и алгоритмом
Берлекэмпа-Месси изучалась в работах Mills [4], Reed, Scholtz, Truong,
Welch f13,
Truong [4], Reed, Truong, Miller [3], Welch, Scholtz fl ]. Алгоритм
Евклида и алгоритм Берлекэмпа-Месси могут быть тай^,_ использованы при
декодировании кодов других типов (см. Осй|Щ§||
fl], Helgert f 1 3, Mandelbaum 12], 13], Patterson N. J. 11 1,'ЩЙ1 ter
fl], Sarwate [I], Sugiyama, Kasahara, Hirasawa, Namekj [1], f2]). В
работе Michelson fl 3 рассматривались вопросы д днрования БЧХ-кодов с
помощью ЭВМ. Процедура Ченя (ш в 9.50) была описана в работе Chien fl 3.
Коды Рида-Соломона начали изучаться в работе Reed,
I
' * • •'Ч
.V "'¦
М
¦ М ¦Ш
. :1 Ъ
ш-шж- ¦ ^ i
СоломоЩ§
/'Щ
и их декодировании можно найти в работах Liu, Reed, Truong MacWilliams,
Sloane 12, ch. 10], Mandelbaum 11], Reed, Scholb,! Truong, Welch [1],
Reed, Truotig, Miller 133, Reed, Truong, ;| Welch fl I. В работе Blahut
11 3 приводится обзор применений дискретных преобразований Фурье при
декодировании кодов Рида-Соломона и ряда других кодов. Информацию о
реверсивных кодах (см. упр. 9.33) можно найти в книге MacWilliams, Sloane
1.2,
ch. 7] и в работе Massey ГМ. Класс полиноминальных кодов, включающий в
себя БЧХ-коды и конечно-геометрические коды,
Ч;I
Комментарии
657
был введен в работе Kasami, Lin, Peterson 11 I (см, также Del-sarte P.
12], Gore, Cooper ll i, Peterson, Weldon [1, ch, 10]),
Информацию о распределении весов в циклических кодах можно найти в
работах Baumert, McEliece [I ], Berlekamp [4, ch, 161, Chen C. L. [I 1,
Delsarte, Goethals II 3, Hartmann, Riek, Longobardi [l ], Hartmann,
Tzeng, Chien [I 3, Helleseth, Kl0ve,
Mykkeltveit ll 3, MacWilliams, Seery [I 3, MacWilliams, Sloane 12, ch,
81, Peterson, Weldon U, appendix DJ. Подход к задаче распределения весов,
основанный на использовании гауссовых сумм (см. Baumert, McEliece ИЗ,
McEliece [5i, McEliece, Rumsey ИЗ) приводит к получению общего
неравенства для весов кодовых слов в циклических кодах (Niederreiter
[81).
§ 3. Наиболее исчерпывающий обзор но проективным гео* метрним над
конечными полями при водится в работе Hirschfeld 15 3. Конечные
проективные плоскости рассматриваются также во многих книгах по
проективной геометрии, таких, как например. Baer [I], Blumentha! [1 I,
Horadam [11, Hughes, Piper [II, Pickert H 3, Segre [6 3, Veblen, Young [I
3. По вопросам конечных геометрий особенно рекомендуем Albert, Sandler
Hi, Berman, Fryer [1], Carmichael [4, ch. ИЗ, Dembowski [2], Hall [6],
181, Karteszi [13, Segre [2]. Vajda П ], van Lint [23.
Плоскость Фано из примера 9.55 впервые появляется в работе Fa по [13.
Отсутствие проективных плоскостей 6-го порядка вытекает из работы Tarry
[1 3. В работе Bruck, Ryser П I доказан более общий результат, а именно
если т = 1, 2 (mod 4), то конечная проективная плоскость порядка т может
существовать только в том случае, если т можно представить в виде суммы
квадратов двух целых чисел (см. также книгу Hall 18* ch. 12 3). Теорема
9.60 была получена в работе Veblen, Bussey [l |. Свойства к о ии к н
овалов более детально изучаются в книге Hirschfeld 15. ch. 7, 8 3; тем же
можно найти доказательство теоремы 9.65 (i). Теорема 9.67 и следствия из
нее были получены в работах Segre 111, [81 (см. также Hirschfeld (3 3).
Связь с перестановочными многочленами исследуется в работе Hirschfeld
121.
Для введения координат в 'конечной дезарговой плоскости был использован
один метод из работы Гильберта Hilbert [31. Тех, кто интересуется задачей
введения системы координат в проективной плоскости, отсылаем к работам
Albert, Sandler [1 3, Hall 161, [8 3, где вводится понятие тернарного
кольца. Специальный класс тернарных колец представляют системы Веблена-
Веддерберна. Если умножение в системе Веблена-Вёддербёрна ассоциативно,
