Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
9.29. Определить, является ли БЧХ-кодом код, дуальный произвольному ВЧХ-
коду. Аналогично является ли кодом Рида-Соломона код, дуальный
произвольному коду Рида - Соломона?
9.30. В примере 9.43 иайти локаторы ошибок, зная, что синдром полученного
вектора равен (10010110)т. Найти порождающую матрицу этого кода.
9.31. Пусть бинарный БЧХ-код, исправляющий 2 ошибки, имеет длину 31 н
задается корнем а^иогочлеиа Xs + х2 + 1 над полем Fsa- Пусть синдром
полученного слова имеет вид (1110011101 )т. Найти многочлен ошибок.
9.32. Пусть а -- примитивный элемент поля Fie, cc4~c6-f- 1, и пусть S (х)
-= х+ х8 4" х5 + х4 + х2 + х -f 1 - порождающий многочлен бинарного 0Д5)-
БЧХ-кода. Пусть получено слово v ~ 000101100100011. Определить переданное
кодовое слово и сообщение, которое было закодировано.
9.33. Код С называется реверсивным, если из того, что (а0, аь ..., %"]) ?
С, следует, что и (ап_1ч ? С.
664 Гл. 9. Приложения конечных полей §
ча
чх
Vs>
¦%
Щ
хл Ь
у}'#
"щ
Ж
(a) Доказать, что циклический код С - (g (х)) является реверсивным тогда
и только тогда, когда обратная величина к любому корню многочлена g (х)
также является корнем многочлена g (х).
(b) Доказать, что произвольный циклический код над полем Fg является
реверсивным, если 1 совпадает с некоторой степенью числа q по модулю
п.
9.34. Пусть дан циклический (л, к)-код, и пусть линейный (ч - т, к
-
- т)-код получен из него в результате вычеркивания т последних
строк и т
последних столбцов в порождающей матрице этого кода, приведенной перед
теоремой 9.36. Показать, что получающийся при этом код. вообще говоря, не
является циклическим, но имеет минимальное расстояние, не меньшее, чем
минимальное расстояние исходного кода. (Замечание. Такой (я т, к - т)-
код4| называется укороченным циклическим кодом.)
9.35. Перечислить все точки и прямые в PG {2, Рд). Нарисовать диаграмму^
всех пересечений. Перечислить все точки прямой и указать семейства парал
лельных прямых з AG (2, Fg).
9.36. В PG (2, F^) рассмотрим четырех вершинник А (1, 1, I 4~ р), В
= (0, 1, Р), С - (1, 1, {i), D = (1, 1 + р, р), где р - примитивный
элемент
поля ft. Найти диагональные точки этого четырехвершинника и проверить^
Л*?
•ж
что они коллинеарны. ;У§|
9.37. Доказать, что в PG (2, F4) найдутся шесть точек, никакие три иаГ
которых не лежат на одной прямой. Четыре из них еовнядшот с точками А, В,
щ|
Щ
' !¦' 8-Т!
ш ш
т ¦Ф
* # :Т! •{?
и D из упр. 9.36. Найти оставшиеся две точки,
9.38. Найти уравнение коники, которая обрадована точками А, В, 6\ из упр.
9.36 и точкой Е = (I, I -f Р, I 4- р). Определить касательные к этбШ|
конике и иайти точку их пересечения
9.39. Показать, что не все касательные к невырожденной конике в проек-
тианом пространстве PG (2, !>3) пересекаются в одной точке,
9.40. Доказать, что если L - множество таких точек пространства PG (2,
Fg)f|^ что каждая прямая из PG (2t Fg) содержит точку множества L, то { L
| ^ q 4~ Г*,Щ причем равенство достигается тогда и только тогда, когда L
является прямо%;|| нашего пространства. ;:|||
9.41. Доказать, что среди любых т 4- 3 точек конечной проективной пло-г-й
скости порядка т найдутся три коллииеарные точки. {Замечание. Тем самы^Щ
будет показано, что овал в пространстве PG (2, Fg) при нечетном q
содержи$4| максимальное число точек, обладающих тем свойством, что
никакие три из них(tm) ие лежат иа одной прямой.)
9.42. Показать, что если в проективном пространстве PG (2, Fg), где
четно, у двух овалов более половины точек общие, то эти овалы совпадают.
If
9.43. Пусть q четно. Невырожденная коника в РО (2, Fg) вместе с точкой
пересечения всех касательных к этой коиике называется регулярным
овалом*!3^ Показать, что если ц 2 или q 4, то любой овал n PG (2, Fg)
является регуу|| лярным*
9.44. Пусть q - 2h и I <. п < /г. Доказать, что множество А (xL>fl)
(са^||§ теорему 9.67) является овалом о PG (2, fq) тогда и только тогда,
когда НОД
9.45. Пусть q = 2h, h > 1, рассмотрим PG (2, Fq), Показать, что
(a) если deg (/) = 2, то А ф является овалом тогда и только тогда, когда
А ф ~ А (х2);
(b) еслн deg\f) 4, то А (/) является овалом тогда и только тогда,
когда п
нечетно и А ф А (х1).
9.46. Пусть A (f) такое же, как и в теореме 9.67, Тогда А (/)
называется.* трансляционным овалом, еслн оно является овалом, а многочлен
/ индуцнруеД ;:||| эндоморфизм аддитивной группы поля Fg. Доказать, что A
if) является траксля^хщ цноиным овалом тогда и только тогда, когда
выполняются следующие условия Д.д||
(а) / (а 4" Ь) - f (а) 4~ / (Ь) для всех а, Ь t Fg;
•yw
C%\
. .15.-8Г
yffl
Упражнения
665
(h) f является перестановочным многочленом поля deg {/) <iq и /{!) -
¦¦ 1:
(с) является перестановочным многочленом поля [Г,| со свободным
членом, равным 0. Доказать также, что если deg (/) < q, то /
удовлетворяет условию (а) тогда и только тогда, когда ои является р-
многочленом, где р - характеристика поля IF^.
9.47. Пусть q - 2h и 1 ^ п <; h. Доказать, что А (*-") является
