Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
трансляционным овалом в- PG (2, fq), если НОД (л, И) = 1.
9.48. Определить число точек, прямых, плоскостей н гиперплоскостей в
пространстве PG (4, !Г3). Сколько плоскостей проходит через данную
прямую?
9.49. В PG (4, |Г3) иантн все 3-пространства, проходящие через плоскость,
определяемую точками (1,0,0,0,0), (0,0, 1,0,0) и {0, 0, 0, 0, 1).
9.50. Показать, что число ^-плоскостей проективного пространства PG (m,
iFg), 1 ^ k < т, или, что то же самое, содержащихся в ш-плоскостях
некоторой проективной геометрии баз ее высокой размерности над полем
равно
(<?m+1 - 0 to"1- О - - о
(?*+l -0 ¦•¦(?- О
9.51. Показать, что система блоков
{1, 2, 3}, {1, 4, 7}. {1,5, 9}, {1, 6, 8}, {4, 5, 6}, {2, 5, 8},
{2. 6, 7}, (2, 4, 9}, {7, 8, 9}. {3, 6, 9}. {3, 4, 8], {3, 5, 7}.
образует блок-схему и определить параметры v, Ь, г, к и к этой блок-
схемы.
9.52. Решить следующий частный случай задачи Киркмаиа о школьницах.
Учительница каждый день выводит на прогулку 9 девочек, построив их в три
ряда по трн человека в каждом. Найти способ организовать прогулки таким
образом, чтобы в течение четырех дней подряд ни одна из девочек ие
встречалась а одной тройке ни с одной своей одноклассницей более чем 1
раз.
9.53. Пусть в школе, где учится Ь мальчиков, имеется t спортивных команд
по к человек в каждой команде. Пусть команды организованы таким образом,
что каждый мальчик входит в одинаковое число команд и каждая пара
мальчиков тоже входит в одинаковое число команд. В какое число команд
может при этом входить один мальчик и сколько раз два мальчика могут
входить в одну команду?
9.54. Доказать, что если v четно, то для симметричной (и, к, Я)-блок-
схемы величина k к является квадратом.
9.55. Проверить, что {0. 1, 2, 3, 5. 7, 12, 13, 16) является разностным
множеством по модулю 19. Определить соответствующие параметры и, k и Я.
9.56. Показать, что {0, 4, 5, 7} является разностным множеством по модулю
13, а связанная с этим разностным множеством проективная геометрия
совпадает с PG (2, Га).
9.57. Доказать следующее обобщение теоремы 9,76. Пусть
{d/1, ..., ^ "ч
- система (у, к, Я)-разиостных множеств.Тогда если все вычеты по модулю v
принять за элементы блок-схемы, то vs блоков вида
{dii + /, ,-f- f}, t 0. I, ,, v - 1, s,
образуют (v, k, Xs)-блок-схему,
9.58. Пусть L{k) = где a^} н i -f- jk (mod 9), 0 < < 9,
^ i. j ^ 9. Какие из матриц lJk\ к - 1,2, 8, являются латинскими
квадра-
тами? Являются ли L<2t и L<b> ортогональными?
9.59. Латинский квадрат порядка п называется нормали:юванным, если его
первый столбец и его первая строка представляют собой упорядоченное мио-
666
Гл* 9. Приложения конечных полей
* Я.?
1
II
¦ХХ
5f! l*
Жеетво {1, 2, , л}. Сколько существует различных
нормализованных латинских а
квадратов порядка я для каждого п ^ 4?
9.60. Пусть L - латинский квадрат порядка т, образованный
эле^нтами§
{1, 2, т}, а М - латинский квадрат порядка га, образованный
элементами^
{1, 2. я}. С помощью L и М построить латинский квадрат порядка
тп с эле">
ментами из множества {!, 2, m} X (I, 2, .... га}.
9.61. Построить три попарно ортогональных латинских квадрата порядка 4.
9.62. Доказать, что еслн я > 2, то существует не более чем п - ! попарно
ортогональных латинских квадратов порядка га.
9.63. Магический квадрат порядка га образуется целыми числами от 1 до га3
записанными в виде матрицы размера я X га таким образом, что сумма
элементов? по любой строке, любому столбцу и по обеим диагоналям
равняется одному и тому же числу. Пусть А (tm) (а^) и В = (&;/) - два
ортогональных латинский квадрата порядка я, образованные числами '{0, 1,
я - 1}, Пусть при этом сумма элементов, стоящих по каждой из диагоналей
матриц А или В, равняется^ га (я - 1)/2, Показать, что М .= (па^ + hj Н"
0 является магическим квадратов! порядка я. Построить магический квадрат
порядка 4, используя два ортогональХ ных латинских квадрата, полученных в
упр. 9.61.
9.64. Найти матрицы Адамара порядков 8 и 12.
9.65. Показать, что еслн Нт н Нп - матрицы Адамара, то существует маX
трица Адамара Итп. " j
9.66. Показать, что нз нормализованной матрицы Адамара порядка 4^ |с /
2, можно построить симметричную (4/- 1, 2/- I, t- 1)-блок-схему.
9.67. Доказать, что граф состояний ЛМС иад полем !Г? с певырожденной!!
основной характеристической матрицей представляет собой цикл без
подходов^!
9.68. Показать, что графы состояний, соответствующие подобным осноадаУ||
характеристическим матрицам иад полем Fq, являются изоморфными.
(Замечание^ Две матрицы А н Л над полем Fq называются подобными, если
существует вырожденная матрица Р над полем Fq, такая, что В ~ РАР~1.)
9.69. Пусть основная характеристическая матрица А ЛМС Ж над полем Щ имеет
минимальный многочлен вида (х + 1)& (г* -Н х Н~ I}3. Какие порядки могЩ
иметь внутренние состояния ЛМС Ж?
9.70. Найти порядки всех внутренних состояний ЛМС Ж из примера 9.9J#j
9.71. Пусть основная характеристическая матрица А ЛМС Ж над полем
