Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
то такая система называется почти-полем (пеаг-Leld). Каждое конечное ноле
является почти-гголем; все конечные почти-поля описаны в работе
Zassenhaus [1 I. Более подробную информацию о почти-полях можно найти в
работе Pilz [I 3. Система Веблеиа-Веддербёрна, в которой выполняются оба
за-
15 Зак. 243
658 Гл. 9. Приложения конечных полей
I Ул.
^•1;
. '''fp
кона дистрибутивности, называется полуполем или иеаесоцтЩ главным кольцом
с делением (см. Albert [21). Построение коне*?| ных иедезарговых
плоскостей проводилось в работах Albert'^!
Sandler [11, Hall [81, Hughes [ll, Knuth И 1.Neumann H П];гр
¦Jm ,1
ЖЩ L-ш
Veblen, Wedderburn [I ].
Конечные гголя использовались в статье Crowe [I ] для построеЩ ния
конечных гиперболических плоскостей. Приложения конеФЗ ных геометрий к
теории кодирования можно найти в работаХ| Assmus, Mattson [21, Berlekamp
[4, ch. 151, Cameron, van Lmtf| Hit (23, Delsarte P. [13, Lin [11,
Peterson, Weldon [I, ch. 10,И
Rudolph HI, Sachar [11.
§ 4. Большинство понятий, описанных в этом разделе, можнё найти в книгах
по комбинаторике, см., например, Hall [8 3, Ryt ser [ll, Street, Wallis
UK
Определение уравновешенной неполной блок-схемы можё§ быть обобщено
следующим образом. Схема инцидентности наз вается t-слемой с параметрами
(u, k, Я), если ^ t s? 1 каждое множество из t различных элементов
инцидентно одиш^ и тому же числу блоков, равному Я, Тогда (u, k, Я)-блок-
ся совпадает с 2-схемой с параметрами (v, k, Я). Наиболее значитейЩ ной
задачей в этой области является вопрос существования fif"J тривиальных 2-
схем с / > 5 (тривиальной 2-схемой является т ; кая схема, в которой
каждое множество из k различных элемей^ тов является блоком). Cji
Важное необходимое условие для существования симметрий ных уравновешенных
неполных блок-схем было получено Бр ком, Райзером и Човлой, а именно:
если симметричная (u, k, Я блок-схема существует, то
(i) если v четно, то k - Я является квадратом;
(ii) если v нечетно, то уравнение z2 - (k - Я) х1
+ (-1)(°-4/2^2 ИМеет решение (х, у, г) в целых числах, не из которых
равны 0.
Этот результат был доказан в работе В г иск, Ryser [ 1 ] для слу!у чая Я
= 1 и в работе Chowla, Ryser [1] в общем случае (см. таКЖ# Hall [8, ch.
101. Ryser И, ch. 81, [31, Shrikhande [13). Другие
№ ¦Ш
результаты по схемам можно найти в работах Bose R. С. [2Щ
Bridges, Ryser [13, Cameron [ll, Cameron, van Lint [11,
Ш
Dembowski [1], [21, Hanani [I 3, Hughes [21, Lunebufg [!| Ryser [2], van
Lint, Ryser П }, Wilson [1], 121. Связь мехдфз схемами и теорией
кодирования обсуждается в работах Assmttr^ Mattson [1R [21, Blake [21,
Cameron, van Lint [13, [21, Mae Williams, Sloane [21.
Разностные множества из теоремы 9.79 были открыты в ра боте Singer [11.
Поэтому они часто называются разностным#% множествами Зингера. Прекрасные
обзоры по разностным мне- | жествам содержатся в работах Baumert [I 3,
Hall [51, [8 3, Mann *
-Ж?
•vS
Комментарии
659
131, 141, Storer [И. Дальнейшие результаты можно найти в работах Brack
[11, Evans, Mann [i], Gordon, Mills, Welch [lj, Hall [71, Lehmer E. [3],
MacWilliams, Mann HI, McEiiece [I], Menon [23, Turyn [13, Whiteman [12].
Приложение некоторых разностных множеств Зингера к теории кодирования
можно найти в статье Graham, MacWilliams [1 1. Существуют интересные
связи между разностными множествами, с одной стороны, и суммами Гаусса,
суммами Якоби и цкклотомией, с другой стороны. Эти связи отражены в
работах Baumert [1, ch. 5 3, Baumert, Fredricksen [1], Baumert, Mills,
Ward [1], Berndt, Chowla [1 j, Berndt, Evans [1 3, Chowla S. [43, Evans
[4], [103, Hall [5 3, [7], Lehmer E, [3 3, Mann [3 3, Menon [2], Muskat,
Whiteman [1 ], Storer [13, Whiteman [10 3, [113, Yamamoto [3].
По поводу латинских квадратов обычно ссылаются на книгу Denes, Keedwell
[13; см. также Childs [13, Hal! [83, Mann [2 3, Ryser [1], Street, Wallis
[13, Vajda [23. Теорема 9.83 получена в работе MacNeish [13 (см. также
Mann [i 3, 12 3, Ryser [1 3). Ортогональные латинские квадраты впервые
изучались Эйлером (Euler [13), который выдзинул гипотезу о том, что для п
= 2 (mod 4) не существует пары ортогональных латинских квадратов порядка
п. В работе Tarry [1J этот результат был подтвержден для случая п ~ 6,
однако Боуз и Шрикханд (Bose, Shrikhande [2)) опровергли гипотезу Эйлера,
построив пару ортогональных латинских квадратов порядка 22. Вскоре после
этого Паркер (Parker [13) нашел пару ортогональных латинских квадратов
порядка 10. И наконец, в работе Bose, Shrikhande, Parker [13 показано,
что для любого п > 6 существует пара ортогональных латинских квадратов
порядка rt. С этой тематикой связаны также работы Bose, Shrikhande [3J и
Parker [2]. В статьях Bose R. С. [13, Stevens W. L. [1 ] показано, что
конечная проективная плоскость порядка п существует тогда н только тогда,
когда существует множество нз п - 1 попарно ортогональных латинских
квадратов порядка rt. Необходимо отметить, что множество, состоящее из
