Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
взаимно ортогональных латинских квадратов порядка rt, не может содержать
более п- 1 квадратов.
Вопросы применения схем инцидентностн и Ортогональных латинских квадратов
при планировании статистических экспериментов обсуждаются в работах Мапп
[2], Raghavarao [13, Vajda
[2]. Оригинальный подход к вопросам планирования экспериментов можно
найти в книге Fisher ИЗ.
Матрицы Адамара исследуются во многих книгах по комбинаторике (см.,
например, Hal! [83, van Lint [2]). При этом используются разные методы их
построения (см. Baumert, Hall U ], Ehlich [1 j, Paley [31, Wallis,
Street, Wallis [1 j). Вопросы использования матриц Адамара в теории
кодирования изучались, в работах Bose, Shrikhande [1 j, Golomb, Baumert
[1 ], MacWilliams,
15+
660 Гл. 9. Приложения конечных полей
Sloane 11, ch 2 3. В последней книге также содержится обзо^ их применения
в других областях математики. Матрицы сходные Типов изучались в работах
Belevitch 11], Butson ИЗ, Delsartifi*1
s4 Z?
im
Goethals. Seidel [11. Goethals, Seidel 11], MacWilliams [4(r)I
J r!
Wallis, Street, Wallis ИЗ.
§ 5, Прекрасными источниками сведений по системам с конечр| ным числом
состояний (или просто конечным автоматам) и лине^ 11
•Г.
ным модуля
щ
'\
..! Ш
ж
г. Ы
эным системам являются книги Arbib, Falb, Kal 11], Booth П], Dornlioff,
Hohn [1, ch. 1, 81, Gill 111, (2), HaffJ rison П ], Zadeh, Desoer [1],
Zadeh, Polak [1, ch. 2]. В носледие||| книге содержится много ссылок на
работы по линейным модуляр* ным системам. Некоторые классические работы
по данной тема^ тике собраны в сборнике под редакцией Каутца (Kautz [If
(см. также Crowell [1 3, Elspas И ], Friedland И 3, Huffman ll] Условия,
при которых конечный автомат можно реализовать в вид линейной модулярной
системы, изучались в работах Eichner |1 н Hartfiel, Maxson [1], а также в
ряде других работ. В стат^ Matluk, Gill [13 показано, как линейную
модулярную систем над кольцом Z/(m) можно разложить иа линейные модул я
рн системы над конечными полями. Линейные модулярные с и стен! над
кольцами Z! (т) изучались также в работе Boll man Калман (Kalman [1 ],
[2]) изучал линейные модулярные систем с точки зрения динамических
систем. За детальным обсуждение?: свойств рациональных канонических форм
матриц отсылаем к p&j ботам Dornhoff, Hohn П, ch. 7} н Herstein [4, ch.
6].
Кратко упомянем некоторые другие приложения конечны! полей. На арифметике
конечных полей может быть основан те ретнческий анализ переключательных
цепей (см. Green, Tayl III, [31, Moisil [1 ]-[43, Moisil, Popovici [11,
Murakami, Ree
ll], Rudeanu Hi, Vaida НЗ). Конечные поля используются п вычислении
переключательных функций (см. Benjaiithrit, Ree
.*• /' У ,3!?
; Щ
ских функций (см. Karpovsky [1 3). Мендельсон (Mendelsohn [2 ]||
использовал конечные поля для моделирования квазигрупповьШр; тождеств.
Свойства конечных полей находят разнообразные прш/ менення в крнптографнн
(см. Beker, Piper 11 3, 12 ], Brawley* Л Levine 11 ], Cooper п 3, Diffie,
Heilman II], Hartwig, Levine [ 13v Herlestam, Johannesson f 13, Hershey
111, Konheim 113, Kris-;-; hnamurthy, Rarnachandran II], Levine, Brawley
11], [2 j, Levine, Hartwig [1 J, Pohlig. Heilman [1 3, Sloane 12 3). В
статье Redinbo ll ] изучались приложения конечных полей к исследованию
ма- , тричкых процессоров, в работе Nicholson II] они применялись прн
вычислении конечных преобразований Фурье, а в работе English 11] свойства
конечных полей применялись к анализу алгоритмов.
т
¦ .гШ
11], (2 3, Davio, Deschamps, Thayse 111, Labunec, Sitnikov [1
Pradhan 11 ], Takahashi [11, Thayse ll ], Yin [1 3) и общих логичер^
Упражнения
[В работах Tsfasman, Vladuts, Zink [1*3, Цфасман [1* 3 и Влэдуц, Кацман,
Цфасман [1*3, основанных на идее работы Гоппы [2 3 и оценках рациональных
точек на кривых большого рода над конечным полем (см. Манин [5 3, lhara
[13), были получены новые результаты, относящиеся к теории кодирования. В
работах Шпарлинского [2* 3, [5* 3 предложен один комбинаторный метод,
который применяется к некоторым задачам теории кодирования.
По тематике девятой главы имеются также работы: de Vroedt [l*j, Helleseth
[1*J, Lidl, Niederreiter jl*j, Qberst, Dur [l*j, Tappe [l*j, Варшамов,
Тененгольц [!*], Вишневский [l*j( [2*], Гоппа [1*3. [2*1, Думер,
Зиновьев [1*] н Сидельников
|1*], [2*]. - Перев.3
Упражнения
9.1. Найти все кодовые слова, определить минимальное расстояние и найти
проверочную матрицу бинарного линейного (5,3)-кода, задаваемого
порождающей матрицей
/О I 0 0 ]\
0^ 0 0 1 0 11.
\] 001 1/
9.2. Доказать, что линейный код может обнаруживать s нли меньшее число
ошибок тогда и только тогда, когда его миинмальиое расстояние d^s-\- 1.
9.3. Доказать, что расстояние Хэмминга является метрикой в пространстве
9.4. Пусть Я - проверочная матрица некоторого линейного кода. Доказать,
что код нмеет минимальное расстояние d тогда и только тогда, когда любые
d - J столбцов матрицы Я линейно независимы и при этом имеется d линейно
