Эффект Ганна - Левинштейн М.Е.
Скачать (прямая ссылка):
проводимости аппроксимируется двумя энергетическими долинами,
разделенными энергетическим зазором А. Подвижности электронов в нижней и
верхней долинах считаются постоянными. Далее принимается, что
заселенность долин есть мгновенная функция электронной температуры Те,
которая считается одинаковой для обеих долин.
Время релаксации электронов по энергии тт предполагается одним и тем же
для обеих долин, не зависящим от Те. Как мы увидим, в рамках таких
допущений можно развить модельную теорию, позволяющую как установить вид
зависимости v(E) в однородном образце, так и исследовать динамику эффекта
Ганна. Вполне понятно, однако, что полученная в рамках столь гру-бых
предположений кривая v(E) оказывается существенно отличной от истинного
хода зависимости v(E). При этом следует учитывать, что в температурную
модель (в отличие от полевой) правильную зависимость v(E) нельзя внести
"извне". Однако, несмотря на грубость температурной модели :[3], с ее
помощью был получен целый ряд правильных качественных результатов, причем
некоторые цз них были получены в работе [3] впервые.
Считая электронную температуру одной и той же в обеих долинах и используя
статистику Больцмана, можно показать [3], что отношение заселенностей
верхней и нижней долин равно
л!/л1Г=(а+ 1 + Д /Те) е"А/Г7[1 - (I + А/Те)е~ЧТе], (3.120)
а средняя энергия электронов
(? = (3/2)Те + аДе"Д/Г7(1 +ае"4/Ге). (3.121)
Здесь а - отношение плотности состояний в верхней долине к плотности
состояний в нижней.
Электронная температура Те определялась в [3] из одномерного уравнения
потока энергии *>
Уравнение (3.122) носит чисто модельный характер. Оно отличается от
уравнения переноса энергии, получающегося из уравнения Больцмана в
приближении эффективной температуры [17].
79
д& - д 3 Те
dt Vdx 2
Тт
¦Ev,
(3.122)
где TL - температура решетки.
Далее в [3] считалось, что в обеих долинах выполняется соотношение
Эйнштейна и поэтому лоток электронов (Д1+Пг)у можно записать в виде
(tti+n2) v= (iii"i+ щп2) Е- (д/дх) Т ([iini+ \шгг). (3.123)
Вместе с уравнением Пуассона и уравнением непрерывности уравнения (3.120)
- (3.123) образуют замкнутую систему уравнений, позволяющую в рамках
данной модели описать поведение образца при определенных граничных
условиях.
Если искать однородное стационарное решение этой системы (d/dx=d/dt\==0),
то уравнения (3.120), (3.121), (3.122) определят зависимости " и Г от ?
для однородного образца. В работе [3] соответствующие зависимости были
рассчитаны для значений а = 60, и2 = = 100 см2/В-с, jxi = 5000 см2/В-с,
Тт = 2-10~12 с, Д=0,35 эВ. Зависимость v(E) при этом характеризуется
пороговым полем ?" - 3100 В/см, максимальной отрицательной
дифференциальной .подвижностью ,и_~
- 300 см2/В-с, полем Ev^ 32 кВ/см и положительной дифференциальной
подвижностью в области сильных полей (?>?"), асимптотически
приближающейся к подвижности Ц2 при Е-+оо (все данные для комнатной
температуры).
Таким образом, полученная кривая v(E), как и следовало ожидать,
существенно отличается от реальной зависимости средней скорости
электронов от поля в GaAs (гл. 2). Главным недостатком этой кривой
является наличие возрастающего участка в области полей, больших 30 кВ/см,
что обусловливает возникновение доменов с плоской вершиной
(трапецеидальных доменов) при сравнительно малых полях в домене в
противоречии с многочисленными экспериментальными данными. Кроме того,
величина ||д_| значительно меньше, чем значение максимальной
отрицательной подвижности ([х_"±-2000 см2/В-с), установленное
экспериментально и согласующееся с точными расчетами (гл. 2). Тем не
менее некоторые качественные характеристики эффекта Ганна оказываются не
слишком чувствительными к точному виду кривой v(E), что позволило в
рамках однотемпературной модели получить несколько весьма важных
результатов.
Для стационарного (не зависящего от времени) неоднородного случая
исходная система уравнений решалась в работе [3] на ЭВМ, причем в
качестве граничных условий использовались Е - 0; и2 = 0, T - TL на обоих
контактах. Чтобы исключить "паразитные" эффекты от искусственных
граничных условий и промоделировать низкоомные омические контакты,
концентрация носителей в узких (10 мкм) областях с обоих концов образца
предполагалась значительно большей, чем в остальном образце. На
расстоянии 40 мкм от катодного (левого) контакта в пределах полоски
шириной 10 мкм концентрация п0 принималась равной 0,9 от концентрации в
остальном образце
На рис. 3.16 показаны рассчитанные распределения поля для двух образцов.
В обоих случаях большему среднему по образцу полю ?=67L соответствует
больший ток. Таким образом, на постоянном токе диф-80
ференциальное сопротивление положительно. Для образца с п0 -
= 1013 см-3 неоднородность не вносит заметного искажения в распределение
поля и распределение очень похоже на зависимость Е(х), построенную в гл.
1 на основании качественных соображений (рис.
1.10,а). То обстоятельство, что при n0L^ ("o-L)i неоднородности в
