Эффект Ганна - Левинштейн М.Е.
Скачать (прямая ссылка):
формирования домена. Даже в простейшем случае постоянного напряжения
смещения описание начального этапа формирования домена от момента
зарождения флуктуации до момента, когда амплитуда домена Ет становится
больше, чем поле Еп, требует расчета на ЭВМ при заданных граничных
условиях и определенном характере распределения легирующей примеси. В
рамках температурной модели 'такие расчеты были проделаны в работе [3].
Можно показать, однако, что. для доменов большой амплитуды этот начальный
этап занимает лишь малую часть общего времени формирования (см. ниже).
При этом (для ?,0 = const и "<С"кр) простую оценку времени формирования
можно получить, исходя из уравнения (3.72).
В начале процесса формирования падение напряжение на домене мало (ы<с1).
Поэтому можно принять в качестве начального условия и(0) =0. Тогда из
(3.72) имеем
Рис. 3.15. Зависимость напряжения на домене от времени:
1 - результат аналитического расчета (3.100); 2- результат численного
расчета при n0L= = 1014 см-2; 3 - то же при ПоЬ=1012 см-'\
Кривые, соответствующие промежуточным значениям параметра n0L лежат между
кривыми 2 и 3.
:(e'_i)7(e' + l)i.
(3.100)
Зависимость и(х), соответствующая уравнению (3.100), показана на рис.
3.15 (кривая 1). В начальный период формирования домена (т-Cl)
м~т2/4.
В ко-нце процесса формирования (т^>1)
(3.101)
4е
(3.102)
Если для оценки полного времени формирования принять, как это-обычно
делается при рассмотрении переходных процессов, что формирование домена
заканчивается, когда падение напряжения на нем до-
7а
стигаег 0,9 от установившегося значения (и = 0,9), то полное время
формирования
чф = in [(1 +Vaj/(l - 3,5. (3.103)
Таким образом, приближенный аналитический расчет, показывает, что
постоянная времени
Le
jj.xt
(3.104)
является характерным масштабом и для времени формирования домена.
Физический смысл этой постоянной обсуждался в п. 3.5.3 (3.87). Время
формирования домена интересно сопоставить с пролетным временем Т^Lj\iiEr
min- Отношение
Т
8(Et
е Е ¦
г min
112
(3.105)
При n*L я* 1012 см-2 величина Т/ъа7&15, т. е. отношение полного времени
формирования 1ф = 3,5т:а к пролетному времени приблизительно равно 0,25.
Более строго процесс .формирования домена может быть описан с помощью
численного решения уравнения (3.65) с учетом (3.40). Результаты
проделанного нами численного расчета для E0=Et(dE<)/dt=Q) представлены на
рис. 3.15 (кривые 2 и 3). При расчетах была использована аналитическая
аппроксимация кривой v(E), полученной в работе |22]. Расчеты были
проделаны в диапазоне значений параметра п0Ь от 1012 до 1014 см-2.
Верхнее значение для параметра щЬ выбрано равным 1014 cm~s, поскольку
исходное уравнение (3.75) справедливо при Ло<пКр"2-1013 см~3, а длина
ганновских диодов, как правило, не превышает 1 ... 2 мм.
При выбранных безразмерных переменных и и х результаты аналитического
расчета (кривая 1 на рис. 3.15) от параметра ПдЬ не зависят. Как-видно из
рисунка, результаты численного расчета зависят от параметра n0L
сравнительно слабо: при изменении n0L на два порядка полное время
формирования (при и = 0,9) меняется приблизительно от 5т для кривой 3 до
4т для кривой 2 (рис. 3.15), приближаясь с увеличением параметра п0Ь к
результатам аналитического расчета. Таким образом, результаты численного
расчета подтверждают, что развитая простая аналитическая теория хорошо
описывает процесс формирования доменов большой амплитуды.
Выше уже отмечалось, что аналитическая теория применима, строго говоря,
для случая, когда к образцу приложено постоянное .напряжение и в образце
существует только один домен сильного поля. Кроме того, необходимо, чтобы
Er<^.Ev. Такие условия реализуются при формировании первого домена, когда
Etl^zE0<^Ev (именно этот случай соответствует рис. 3.15). Если Е0-const
^>EV, то дифференциальная подвижность практически равна нулю (скорость не
зависит от поля), т. е. при начальном однородном распределении поля
отсутствует физическая причина, обусловливающая формирование домена.
Практически это означает, что процесс формирования первого домена сильно
зависит от начального распределения поля, т. е. от условий на контактах
(гл. 6). 74
При E0>Et формирование второго и последующих доменов происходит в
условиях, когда приложенное к образцу напряжение перераспределяется между
уходящим в анод и формирующимся доменами. При этом формирование нового
домена начинается, как только поле у катода становится равным Et.
Поэтому, даже при E0^>Et, для второго-и последующего доменов постоянная
является характерным временным масштабом формирования домена.
При рассмотрении процесса формирования домена в рамках изложенной теории
не учитывается начальный период формирования, когда флуктуация нарастает
с постоянной времени, равной дифференциальному максвелловскому времени,
на падающем участке кривой v(E):
1^1= -l^. - <ЗЛ06)
Отношение
ЧщтЬ
е(?" - Ermin)
1/2
(3.107)
Из (3.106) следует, что при (n0L) ^>>(n0L) и т. е. когда критерий Кремера
