Курс общей физики. Механика и молекулярная физика - Ландау Л.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Выше мы говорили, что движение колебательной системы, находящейся под воздействием периодической внешней силы, представляет собой наложение вынужденных и собственных колебаний. Если отвлечься от малого затухания собственных колебаний, то будет происходить сложение двух гармонических колебаний — с частотами со и со 0 и некоторыми амплитудами А и В. Если мы находимся вблизи резонанса, то частоты со и со0 близки друг к другу, т. е. разность Q=|co—со0| мала по сравнению с со и со0. Выясним характер возникающего при этом результирующего движения.
Для этого воспользуемся векторной диаграммой, на
Рис. 7.
Рис. 8.
которой каждое из колебаний изображается своим вектором— А и В на рис. 8. С течением времени, по мере изменения фаз колебаний, эти векторы равномерно вращаются с угловыми скоростями Co0 и со (за время одного периода T вектор производит полный оборот, т. е. поворачивается на угол 2л; его угловая скорость есть 2л/Т, т. е. совпадает с циклической частотой колебания). Суммарное же колебание изображается геометрической суммой обоих векторов — вектором С. Длина этого вектора в отличие от длин Л и В не будет постоянной, а будет меняться со временем, так как благодаря разнице в угловых скоростях со0 и со угол между векторами Л и В меняется. Очевидно, что изменение длины С будет происходить в пределах от Cm3kc=A+В, когда направления векторов Л и В совпадают, до СМИН=|Л—В), когда их направления противоположны. Это изменение 112
КОЛЕБАНИЯ
[ГЛ. IV
происходит периодически с частотой Q (этой величине равна угловая скорость вращения векторов А и В друг относительно друга).
В рассматриваемом случае близких частот со0 и со векторы А и В быстро вращаются, одновременно медленно поворачиваясь по отношению друг к другу. Изменение результирующего вектора С можно при этом рассматривать как
равномерное вращение с той же частотой со0«со (пренебрегая разницей между со0 и со), с одновременным медленным (с частотой Q) изменением его длины. Другими словами, результирующее движение представляет собой колебание с медленно меняющейся амплитудой.
Явление периодического изменения результирующей амплитуды при наложении колебаний с близкими частотами называют биениями, а величину Q — частотой биений. На рис. 9 изображены биения при A=B.
§ 36. Параметрический резонанс
Незатухающие колебания могут возбуждаться не только под действием внешней периодической силы, но также и при периодическом изменении параметров колебательной системы. Такое возбуждение колебаний называют параметрическим резонансом. В качестве примера можно привести раскачивание качелей человеком, регулярно приседающим и поднимающимся и тем самым периодически перемещающим положение центра тяжести системы.
Для выяснения механизма этого способа возбуждения колебаний обратимся к простому примеру — маятнику, длину подвеса которого можно менять, подтягивая и отпус- § 36]
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС
из
кая нить, переброшенную через блок (рис. 10). Представим себе, что в момент каждого прохождения через равновесное (вертикальное) положение маятник подтягивается внешней силой F на некоторую небольшую высоту а (малую по сравнению с длиной /маятника), а в каждом крайнем положении нить отпускается на ту же длину а. В течение каждого периода, следовательно, маятник будет дважды удлинен и дважды укорочен; другими словами, частота периодического изменения параметра (длины маятника) будет вдвое больше частоты его собственных колебаний.
Поскольку удлинение нити происходит при наклонном положении маятника, то в эти моменты он опускается на высоту a cos ф0 (ф0—угловая амплитуда колебаний маятника), меньшую высоты а его подъема в моменты подтягивания нити. Поэтому за каждое подтягивание и отпускание нити действующая на нить внешняя сила производит против силы тяжести работу, равную
tnga (1 — cos
(так как угол фГ| предполагается малым, то cos ф0яЛ —. Кроме того, внешняя сила F производит работу против центробежной силы (растягивающей нить), равной '-^p- (V0—
максимальная скорость маятника) в нижнем положении маятника и равной нулю в его крайних положениях (в этих положениях равна нулю скорость маятника). Таким образом, суммарная работа внешней силы за период колебаний маятника равна
mga(p$ +
2
mv о I
Но У0=/ф0Ю, где (0 = поэтому
-у— частота колебаний маятника;
А
а ти2 114
КОЛЕБАНИЯ
[ГЛ. IV
Мы видим, что работа, производимая внешней силой над маятником, положительна и пропорциональна его энергии. Поэтому энергия маятника будет систематически возрастать, получая за каждый период небольшое приращение, пропорциональное самой этой энергии и величине ~.
В этом и заключается механизм параметрического резонанса. Периодическое изменение параметров колебательной системы (с частотой, удвоенной по сравнению с собственной частотой системы) приводит к систематическому возрастанию ее средней энергии Е, причем скорость этого возрастания пропорциональна Е:
где у.— некоторая (малая) постоянная. Это соотношение такого же вида, как и при затухающих колебаниях, с тем,
