Курс общей физики. Механика и молекулярная физика - Ландау Л.Д.
Скачать (прямая ссылка):
FTp= —bv,
где b — некоторая положительная константа, характеризующая взаимодействие тела со средой, а знак минус указывает, что сила направлена в сторону, обратную скорости.
Выясним, как влияет наличие такого трения на колебательное движение. Будем считать при этом, что сила трения настолько мала, что вызываемая ею потеря энергии тела (за время одного периода колебания) относительно мала. § 34]
ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
105
Потеря энергии телом определяется как работа, произведенная силой трения. За время dt эта работа, а с ней и потеря энергии dE, равна произведению силы Frv на смещение тела dx—v dt:
dE — Ftv dx = —bv2 dt,
откуда
dE , , 2b mv* W==-m-T-
При сделанном нами предположении о малости силы трения мы можем применить эту формулу к средней потере энергии за время одного периода, заменив при этом также и кинетическую энергию mv2 ее средним значением. Номы видели
в § 32, что среднее значение кинетической энергии колеблющегося тела равно половине его панной энергии Е. Таким образом, можно написать
dE ^c
St = -2^e'
где у=Ь/2т. Мы видим, что скорость уменьшения энергии пропорциональна самой энергии.
Переписав это соотношение в виде
~ = d(\n E)= -2уdt,
находим In E=—2у H const, откуда окончательно
E = ?0е"^t,
где E0— значение энергии в начальный момент времени U=O).
Таким образом, энергия колебаний убывает из-за трения по экспоненциальному закону. Вместе с энергией убывает также и амплитуда колебаний А. Поскольку энергия пропорциональна квадрату амплитуды, то
А = A0e~v.
Степень убывания амплитуды определяется величиной 7, которую называют коэффициентом затухания. За время т=1 /у амплитуда уменьшается в е раз; это время называют временем жизни колебаний. Сделанное нами выше 106
КОЛЕБАНИЯ
[ГЛ. IV
предположение о малости силы трения означает, что т предполагается большим по сравнению с периодом Т=2п/а> колебаний, т. е. что за время жизни происходит большое число п=т/Т колебаний. Величину, обратную п, называют логарифмическим декрементом затухания.
На рис. 4 изображен график зависимости смещения от времени при затухающих колебаниях
^ х = A cos (й>/ + а) =
= А0е" v cos (сdt + а).
Пунктирная линия изо-Phc бражает ход убывания
амплитуды.
Трение влияет также и на частоту колебаний. Замедляя движение, оно увеличивает период, т. е. уменьшает частоту колебаний. Однако при малом трении это изменение очень мало (и потому выше мы не принимали его в расчет): можно показать, что относительное изменение частоты пропорционально квадрату малого отношения у/со. Напротив, при достаточно большом трении замедление может оказаться настолько значительным, что затухание движения произойдет без колебаний, как говорят, апериодически.
§ 35. Вынужденные колебания
Во всякой реальной колебательной системе всегда происходят те или иные процессы трения. Поэтому свободные колебания, возникающие в системе под влиянием начального толчка, с течением времени затухают.
Для того чтобы возбудить в системе незатухающие колебания, необходимо компенсировать потери энергии, обусловленные трением. Такая компенсация может производиться внешними (по отношению к колебательной системе) источниками энергии. Простейшим случаем является воздействие на систему переменной внешней силы Fvis, изменяющейся со временем по гармоническому закону Fbk = Fo cos wt § 35] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
107
с некоторой частотой to (в отличие от этой частоты мы будем обозначать теперь частоту собственных, свободных колебаний системы через to0). Под влиянием этой силы в системе возникнут колебания, происходящие в такт с изменением силы; эти колебания называются вынужденными. Движение системы будет при этом представлять собой, вообще говоря, наложение обоих колебаний — собственных с частотой to0 и вынужденных с частотой to.
Свободные колебания мы уже изучили. Рассмотрим теперь вынужденные колебания и определим их амплитуду. Запишем эти колебания в виде
х = В cos (to/ — ?),
где В — амплитуда, a? — некоторый, пока неизвестный сдвиг фаз между внешней (или, как говорят, вынуждающей) силой и вызываемыми ею колебаниями. Мы написали ? со знаком минус, т. е. как запаздывание по фазе, в соответствии с тем, что, как мы увидим ниже, фактически имеет место.
Ускорение W тела, совершающего вынужденные колебания, определяется одновременным действием трех сил: восстанавливающей силы —kx, внешней силы Fm и силы трения Fjfl=—bv. Поэтому
mw = — kx — bv + FBH.
Разделив это равенство на массу т, вспомнив, что k/m= = tog, и снова обозначив Ь/т=2у, перепишем его в виде
w = —(oix—iyv+LFbh-
Воспользуемся теперь удобным графическим методом изображения колебаний, основанным на том, что величину X=Bcos ф (где ф — фаза колебания) можно рассматривать геометрически (на некотором вспомогательном чертеже — векторной диаграмме) как проекцию на горизонтальную ось радиуса-вектора, имеющего длину В и образующего с осью угол ф. [Во избежание недоразумений подчеркнем, что эти «векторы» не имеют отношения к понятию вектора как физической величины.]
