Курс общей физики. Механика и молекулярная физика - Ландау Л.Д.
Скачать (прямая ссылка):
В случае малых колебаний угол ф мал. При этом sin ф приближенно равен Рис. 1.
самому углу ф, так что Fx—mgy. Замечая, что /ф (где /—длина маятника) представляет собой путь л-, пройденный материальной точкой, запишем F
в виде mg
Г-— { X.
Отсюда видно, что коэффициент жесткости в случае малых колебаний маятника k=mgll. Поэтому частота колебаний маятника будет _
-Vh
Период колебаний маятника равен
ы Ye 102
КОЛЕБАНИЯ
[ГЛ. IV
Отметим, что длина маятника с периодом Г=1 сек (для стандартного значения ускорения силы тяжести, см. стр. 70) равна /=24,8 см.
Зависимость периода маятника от его длины и ускорения силы тяжести может быть просто определена и из соображений размерности. В нашем распоряжении имеются характеризующие данную механическую систему величины т, I, g с размерностями
[т] = г, [1] = см, [g] = см/сек2.
Только от этих величин и может зависеть период Т. Поскольку из всех этих величин размерность г содержит только т, а размерность искомой величины {Т]=сек не содержит г, то ясно, что T вообще не может зависеть от т. Из двух оставшихся величин I и g можно исключить размерность см (не содержащуюся в Т), образовав отношение Ijg. Наконец, извлекая корень Уі/g, мы получим величину размерности сек, причем из изложенных рассуждений ясно, что это есть единственный способ образовать такую величину. Поэтому мы можем утверждать, что период T должен быть пропорционален У Ijg; численный же коэффициент пропорциональности этим способом определить, конечно, нельзя.
Мы до сих пор говорили о малых колебаниях, как о колебаниях одной материальной точки. Но полученные нами результаты относятся в действительности и к колебаниям более сложных систем.
В качестве примера рассмотрим колебания твердого тела, могущего вращаться вокруг горизонтальной оси под влиянием силы тяжести. Такое тело называют физическим маятником.
Мы видели в § 28, что законы движения вращающегося тела формально не отличаются от законов движения материальной точки, причем роль координаты х играет угол поворота тела ф, роль массы — момент инерции тела / (относительно оси вращения), а вместо силы F надо говорить о моменте силы Kz-
В данном случае момент сил тяжести относительно оси вращения равен Kz=—mga sin ф, где т— масса тела, а — расстояние его центра тяжести С от оси вращения (она проходит через точку О перпендикулярно плоскости рис. 2), Ф— угол отклонения линии ОС от вертикали; знак минус МАЯТНИК
103
выражает тот факт, что момент Kz стремится уменьшить угол ф. При малых колебаниях угол ф мал, так что Kz «—tnga ф. Сравнивая это выражение с выражением для восстанавливающей силы F=—kx при колебаниях материальной точки, мы видим, что роль коэффициента жесткости k играет теперь величина tnga. Таким образом, по аналогии с формулой M=Ykjrii можно написать следующее выражение для частоты колебаний физического маятника:
ю== у/зр.
Сравнив это выражение с формулой для частоты колебаний математического маятника (со= Vg/l), мы видим, что свойства движения физического маятника совпадают со свойствами движения математического маятника с длиной
I = -L.
та
Ее называют приведенной длиной физического маятника.
Написав /=/0+/ш2 (где I0— момент инерции маятника относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести), представим приведенную длину в виде
l = a + LL.
1 та
Из этого выражения можно сделать следующее интересное заключение. Отложим на прямой ОС (рис. 2) отрезок OOr=L Представим себе теперь, что маятник подвешивается за ось, проходящую через точку О'. Приведенная длина полученного таким образом нового маятника будет равна
l' = a' + Д-.
' та
Но a'=l—Ct=IJma, поэтому l'=l. Таким образом, приведенные длины, а потому и периоды колебаний маятников, подвешенных на осях, находящихся на расстоянии I друг от друга, одинаковы.
г 104
КОЛЕБАНИЯ
[ГЛ. IV
Рассмотрим, наконец, крутильные колебания диска, подвешенного на упругой нити (рис. 3). Момент сил упругости, возникающих при закручивании нити и стремящихся вернуть диск в исходное положение, пропорционален углу ф поворота диска: К?=—кц>, где k— постоянный коэффициент, зависящий от свойств нити. Если момент инерции диска (относительно его центра) равен /0, то частота колебаний
шш
СЗ
0) =
Yl
§ 34. Затухающие колебания
До сих пор мы рассматривали движение тел (в том числе колебания) так, как если Ри, з бы оно происходило совершенно беспрепятственно. Однако если движение происходит в какой-либо внешней среде, то эта среда оказывает сопротивление движению, стремящееся замедлить его. Взаимодействие тела со средой представляет собой сложный процесс, приводящий, в конце концов, к переходу энергии движущегося тела в тепло,— как говорят в физике, к рассеянию или диссипации энергии. Этот процесс не является уже чисто механическим и его детальное изучение требует привлечения также и других разделов физики. С чисто механической точки зрения он может быть описан путем введения определенной дополнительной силы, появляющейся в результате самого движения и направленной противоположно ему. Эту силу называют силой трения. При достаточно малых скоростях движения она пропорциональна скорости тела
