Курс общей физики. Механика и молекулярная физика - Ландау Л.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Каждый член в написанном только что равенстве представляет собой периодически меняющуюся величину 108
КОЛЕБАНИЯ
[ГЛ. IV
с одинаковой для всех членов частотой со, но с различными для разных членов сдвигами фаз. Рассмотрим, например, момент времени /=0, когда фаза внешней силы Fm=F0 cos со/ равна нулю, так что величина FwJm изобразится горизонтальным вектором длины FJtn (рис. 5). Величина со^х= =со0Б cos (со/—?) колеблется с опозданием по фазе на ?;
Рис. 5.
она изобразится вектором длины cog?, повернутым на угол ? (против часовой стрелки) по отношению к вектору силы. Далее, ускорение w имеет (как мы видели в § 32) амплитуду со2B и знак, противоположный знаку координаты х; оно изобразится поэтому на графике вектором, противоположным X. Наконец, скорость v имеет амплитуду со В и опережает X по фазе на угол л/2; величина 2yv изобразится вектором длины 2у(х)В, перпендикулярным вектору X.
Согласно равенству
^B- = W + <x)Zx + 2yv
колебание величины FeJtn должно совпадать с суммой колебаний трех членов в правой стороне равенства. На нашем графике это означает, что сумма горизонтальных проекций трех последних векторов должна совпадать с FJm. Для этого, очевидно, векторная сумма этих векторов должна быть равна вектору FllJtn. Из рисунка (на котором изображены отдельно случаи со>со0 и со<со0) видно, что такое равенство выполняется, если
(2Yco?)2 + ?2l®2-®o)2=(^)a. § 35]
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
109
Отсюда находим искомую амплитуду колебаний
? __FoJrn_
Y(W2 — 0)2)2+ 4у2ма '
Из тех же графиков можно определить и фазовый сдвиг ?; мы не будем выписывать здесь соответствующее выражение, отметив лишь, что угол запаздывания колебаний х относительно вынуждающей силы острый или тупой соответственно при со<со0 или со>со0.
Мы видим, что амплитуда вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы F0 и существенно зависит от соотношения между частотой этой силы to и собственной частотой системы CO0. Если затухание у мало, то наибольшего значения амплитуда колебаний достигает приблизительно при совпадении частот со и со0 или, как говорят, при резонансе; это максимальное значение
В = —F° -
макс 2тсо0у
Оно обратно пропорционально коэффициенту затухания у. По этой причине в явлении резонанса нельзя пренебрегать трением в системе, даже если оно мало.
Интересно сравнить значение Вмакс с тем смещением, которое испытало бы тело под действием постоянной (статической) силы, равной F0. Это смещение (обозначим его Bcrai) можно получить из общей формулы для В, положив в ней со=0: Bcrar=FJmwl. Отношение резонансного смещения к статическому
^m а кс _ COp
?CTaT 2у
Мы видим, что относительное увеличение амплитуды колебаний при резонансе (по сравнению со статическим отклонением) определяется отношением частоты собственных колебаний к коэффициенту затухания. Для систем с малым затуханием это отношение может быть очень большим. Это обстоятельство разъясняет огромное значение явления ре зонанса в физике и технике. Им широко пользуются, если хотят усилить колебания, и всячески избегают, если резонанс может привести к нежелательному росту колебаний.
Происхождение резонансного усиления колебаний можно уяснить себе, обратив внимание на соотношение между »0
КОЛЕБАНИЯ
[ГЛ. IV
фазами вынуждающей силы Fm и скорости v. При <о+=ы(1 между ними существует определенный сдвиг фаз. Поэтому в течение некоторой доли каждого периода сила Fbh направлена противоположно скорости, т. е. как бы стремится замедлить движение, вместо того чтобы ускорять его. При
резонансе же фазы силы и скорости совпадают (см. векторную диаграмму на рис. 6), так что сила всегда действует в направлении движения, постоянно «подталкивая» его.
Вблизи резонанса (т. е. когда разность |со—со0| мала по сравнению с самой резонансной частотой со0) формулу для амплитуды вынужденных колебаний можно представить в более простом виде. Написав в ее знаменателе со2—соо=(и+со0)(со—со0), мы можем приближенно заменить сумму оо+со0 на 2со0, а также заменить со на со0 в члене 4у2со2. В результате получим
? __ _Fo_
~~ 2тщ |/~(о>—(O0)2+Y2 "
Эту формулу можно переписать также в виде
?__^макс V_
~ V(«-о>о)2+ V2 '
р
где ?MaI.c = ¦ — максимальное значение амплитуды
при резонансе.
На рис. 7 изображены отвечающие этой формуле резонансные кривые — зависимость амплитуды колебаний от частоты при различных значениях коэффициента затухания у (на оси ординат отложено отношение В/Вмакс). До тех пор, пока абсолютная величина разности со—со0 мала по сравнению с у, амплитуда В мало отличается от своего максимального значения. Существенное уменьшение амплитуды наступает при [со—со0|~у. На этом основании говорят, что «ширина» резонансной кривой порядка величины у. Высота же максимума (при заданном F0) обратно про-
о/В
о>пВ
(u=aja Рис. 6.
'/77
гушв § 35] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
111
порциональна у. Поэтому чем меньше затухание, тем острее резонансный максимум — тем выше и уже резонансная кривая.
