Всего лишь кинематика - Копылов Г.И.
Скачать (прямая ссылка):
немного поработаем с этим эллипсом.
*) Не подумайте, что они летят от этого медленнее; нет, падает только
величина их импульса, а скорость по-прежнему остается рав-
ной единице*
108
Задачи
Задача 1. Частица 1 вылетела при распаде под углом 12° к направлению
частицы О. Каким должен быть ее импульс?
Ответ. Проведем из О' луч под углом 12° (рис, 33). Он пересечет эллипс в
двух точках Qi и Q2. Значит, под
углом 12s мы заметим и медленные частицы с небольшим импульсом, численно
равным отрезку 0'QS, и быстрые, с большим импульсом, численно равным
отрезку O'Qi. Тот же вопрос при распаде (рис. 34) решается
однозначно: каждому углу отвечает лишь один импульс.
Задача 2, Частица 1 вылетела под углом 12°. Каково было ее направление в
системе покоя частицы О (см. рис. 33)?
Ответ. Из точки Qr проведем горизонталь до пересечения с правой частью
окружности в точке Из
109
точки Q2 проведем горизонталь до пересечения с левой частью окружности в
точке Q*. {При растяжении окружности в эллипс правая часть окружности
перешла в правую часть эллипса, левая в левую.) Векторы 0'Q{
н O'Qj дадут искомые направления.
Задача 3. Под каким наибольшим углом могут вылететь частицы 1 при
распаде, изображаемом эллипсом на рис. 33?
Ответ. Проведем касательную к эллипсу из точки О'. Ее угол с осью Р
примерно равен 43°. Это и есть наибольший возможный угол вылета частицы
1.
Задача 4. При каком условии у частицы 1 появится предельный угол вылета?
Ответ. Когда отрезок О'О станет больше, чем АО.
В* Е
Так как О'О = --Р, а ЛО = -Р*. то это сводится к
т ' т '
Е\Р^ЕР* или к Р*]Е\^Р]Е. А отношение импульса к энергии - это скорость.
Итак, предельный угол у частицы 1 возникает тогда, когда скорость частицы
О в лабораторной системе отсчета превысит скорость частицы 1 в системе
покоя частицы О:
(9)
Чем больше скорости, тем больше лоренцевы факторы, поэтому формулу (9)
можно заменить равнозначным (но часто более удобным) неравенством
y>yl
Импульсному ежику под силу и другого типа задачи: "Сколько частиц имеет
такой-то импульс? такой-то угол?" Или: "Как часто встречается такое-то и
такое-то свойство?". Надо только помнить, что когда спрашивают, например,
"сколь часто встречается угол 10°?", то имеется в виду "угол, близкий к
10°", т. е. например, углы от 9° до 1Г или от 9,9° до 10,13 *),
Чтобы решать такие задачи, надо знать свойства распада покоящейся частицы
О. Надо знать, под какими углами чаще всего вылетает частица 1, когда ча-
*) Ширина интервала углов не очень важна; ее фиксируют, руководствуясь
физическим смыслом. Например, если погрешность наших измерении -±- Iе. то
бессмысленно брать интервал углов меньше градуса; или если какой-нибудь
наблюдаемый нами тшк имеет ширину 0°,5. то интервал надо взять хотя бы в
0°,2, иначе мы просто ничего не заметим,
НО
сгнца О покоится, т. е. какова густота иголок в разных местах поверхности
круглого ежика. Например, ежик может быть изотропный. У изотропного ежика
со всех сторон иголок поровну. Слово "изотропный" значит "одинаковый во
все стороны". Если же с одной стороны иголки растут погуще, с другой
пореже, это уже не изотропный ежик. Распад неподвижной частицы часто
бывает изотропным. Эго значит, что у ее ежика на равные площади сферы
приходится равное число иголок, где бы эти площадки на нем ни рисовать.
Если известно распределение иголок круглого ежика, легко рассчитать, как
распределятся иглы на ежике продолговатом. Ведь "бегущий" ежик (ежик
импульсов движущейся частицы) получается преобразованием "спящего" ежа.
Как преобразуется каждая иголка (каждый импульс), мы знаем,-значит,
сможем представить, как они лягут, если преобразовать их все вместе,-
лишь бы знать, как они лежали до преобразования.
Посмотрим, как это делается. Прежде всего нарисуем круглый ежик, у
которого во все стороны иголок поровну. Вы думаете это рис. 35? Нет, ведь
ежик не круг, а шар, мы только рисуем его в виде круга. Дуги АВ и CD
одной величины, но если их завертеть вокруг оси 00', то площади описанных
ими шаровых поясов окажутся разными. А мы хотим - если распад изотропен,-
чтобы равное число иголок пришлось на равные площади по-я с о в. Надо для
этого мысленно нарезать сферу параллельными взмахами ножа на ломти одной
толщины. Тогда действительно в каждый ломоть попадет одинаковое число
импульсов, например в среднем по одному. Потому что поверхность шарового
слоя - так учит нас стереометрия - равна длине окружности большого круга,
умноженной на толщину слоя, И если толщины слоев одинаковы, то одинаковы
и их площади. Итак, чтобы изобразить изотропный распад стрелками на
круге, надо разрезать на равные части не окружность круга, а его
Рис. 35. Л же изотропный ежик.
111
поперечник (см. рис. 31 и 32) и провести по стрелке в каждую полученную
дугу (можно и по 100 стрелок, но только тогда на рисунке ничего нельзя
будет понять, так что лучше по стрелке).
Теперь перенесем все эти иголки по прежнему правилу на эллипс и получим
