Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
* Регулярным представлением алгебры Ли называют представление
матрицами, матричные элементы которых суть структурные константы этой
алгебры.
53
извольной бесконечной группы) приводит к возможности решения
следующих задач:
1) по виду преобразований полевых переменных, образующих
бесконечную группу, построить инвариантный лагранжиан, найти уравнения
поля и дополнительные условия для них (используя при этом прямую
вторую теорему Нетер), а также найти законы сохранения (следуя первой и
второй теоремам Нетер);
2) по виду уравнений поля и дополнительных условий на полевые
переменные, вытекающих из них, восстановить формы лагранжиана и
групповых преобразований полевых переменных (используя обратную
вторую теорему Нетер).
Материал главы расположен следующим образом. В §4 излагаются
первая и вторая теоремы Нетер [2], составляющие основу всех групповых и
вариационных подходов, а также формулируются соответствующие законы
сохранения. Первая теорема Нетер используется в случае симметрии теории
относительно произвольных конечных групп Ли, вторая - относительно
бесконечных. В § 5 показано, как по виду преобразований полевых
переменных, порождаемых локальной калибровочной группой, построить
инвариантный лагранжиан и уравнения полей [3, 4], определить вид
тождеств Нетер и законов сохранения, а также найти дополнительные
условия на полевые переменные, вытекающие из уравнений поля и тождеств
Нетер при появлении массовых членов [5]. Иными словами, теоремы Нетер
применяются к построению лагранжевой теории произвольного
калибровочного поля. Обратным задачам (нахождению групповых
преобразований и восстановлению формы лагранжиана по уравнениям поля
и дополнительным условиям, вытекающим из них [5-7]) посвящен § 6.
Важность этих задач связана с тем, что выбор дополнительных условий
может диктоваться физическими соображениями, а это влечет за собой
ограничения на форму возможных взаимодействий. В § 7 вторая теорема
Нетер и ее следствия обобщаются на изопериметрические задачи, в которых
имеется симметрия относительно бесконечной группы, в частности
локальная калибровочная инвариантность [8]. Обсуждается механизм
образования массы калибровочного поля, использующий не хиггсовские
поля, а нарушение локальной калибровочной инвариантности в изопери-
метрической задаче. Показано, что если интегральное дополнительное
условие обладает лишь глобальной симметрией, то на экстремалях
изопериметрической задачи интеграл действия остается инвариантным
относительно локальной калибровочной группы, если выполнены
дополнительные условия, вытекающие из обобщенных тождеств Нетер.
Обсуждается форма законов сохранения при наличии интегральных
дополнительных условий. Демонстрируется появление соотношений типа
пропорциональности токов и полей при нарушении бесконечной симметрии
массовыми членами.
Интерпретации общей теории относительности как теории ка-
либровочного поля симметричного тензора второго ранга [5, 9] посвящен §
8. В качестве калибровочной группы рассматривается
54
группа общековариантных (произвольных, непрерывных) преобразований
координат 4-мерного пространства-времени. В качестве групповых
вариаций полевых переменных [5, 10] используются производные Ли. Это
дает возможность показать, что при переходе к неоднородному
пространству-времени не нужно локализовать группу движений плоского
пространства-времени, как делается при наивном перенесении идей Янга-
Миллса на пространственно-временные симметрии, но достаточно
использовать аппарат производных Ли
[11] , вид которых и определение не связаны с какой-либо конкретной
геометрией пространства-времени. По этой причинен результаты,
полученные таким методом, не зависят от геометрии пространства -
времени.
В § 8 показано, что лагранжиан для поля симметричного тензора второго
ранга g^v, рассматриваемого как калибровочное поле в указанном выше
смысле, по своей структуре совпадает со скалярной кривизной риманова
пространства - времени К4, а уравнения поля-• с уравнениями
Эйнштейна. Поэтому и оказалось возможным отождествить guV с
метрическим тензором. Но можно и не делать такого отождествления. Тогда
g\lv можно рассматривать как тензорное поле в плоском пространстве У4,
описывающее, например, свойства сплошной среды [5]. В § 8 с помощью
производных Ли получены также тождества Нетер и законы сохранения для
калибровочного векторного поля и поля антисимметричного тензора второго
ранга, показана их связь с уравнениями Максвелла [12]. Обсуждается общая
форма интегральных сохраняющихся величин, соответствующих кова-
риантным дифференциальным законам сохранения. Построены ин-
тегральные законы сохранения в ОТО [13, 14]. Показано, что в плоском
пространстве-времени возможность независимого рассмотрения 4-
импульса и момента связана с наличием у соответствующей группы
движений 4-мерного нормального делителя. С этим же обстоятельством
связана возможность отождествления Р^ с пространственно-временным
