Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
вектором, хотя на самом деле индекс р, относится не к самому пространству
Минковского, а к расслоению над ним. Простейший случай расслоения -
касательное пространство, которое в случае плоского пространства обычно
отождествляется с исходным пространством. В общем же случае все
интегральные сохраняющиеся величины оказываются векторами в алгебре
Ли, т. е. в пространстве, касательном к слою.
§ 4. Теоремы Нетер
Формулировка и доказательство теорем. Как известно, в современной
теории поля законы сохранения получаются вариационным методом с
помощью первой теоремы Нетер. Она формулируется следующим образом.
Первая теорема. Если интеграл действия S инвариантен по отношению к
некоторой группе Gr (r-параметрической группе Ли),
55
то г линейно независимых комбинаций лагранжевых производных*
обращаются в дивергенции; и обратно, из последнего условия вытекает
инвариантность S по отношению к некоторой группе Gr.
Выражения, стоящие под знаком дивергенций, фигурирующих в этой
теореме, называются токами. Если лагранжевы производные равны нулю
(выполняются уравнения Эйлера), дивергенции токов обращаются в нуль.
Так получаются дифференциальные законы сохранения. Интегральные
законы сохранения (типа закона сохранения электрического заряда или
закона сохранения энергии) получаются при интегрировании
дифференциальных законов сохранения по специальным образом выбранной
3-мерной гиперповерхности при определенных граничных условиях.
Локальные калибровочные группы и группа общековариантных
преобразований координат пространства-времени относятся к бесконечным
группам. Локальные калибровочные группы получаются из конечных групп
Ли калибровочных преобразований волновых функций 6ф = е°/ф заменой
параметров е° функциями координат
а
еа (х). Поскольку, по определению, группа калибровок представляет собой
надкоординатные преобразования, при такой замене в каждой
фиксированной точке пространства-времени сохраняется алгебра конечной
группы Ли. Это отличает локальные калибровочные группы от других
бесконечных групп, которым, вообще говоря, никакая алгебра не
соответствует. Группу общековариантных преобразований координат общей
теории относительности х= fv-(x) можно рассматривать как бесконечную
группу Gx4.
Свойства функционалов, инвариантных относительно произвольных
бесконечных групп Gxr, исследовала Нетер, и полученные ею результаты
сформулированы в виде следующей теоремы (вторая теорема Нетер):
Вторая теорема. Если интеграл действия S инвариантен отно-
сительно группы G^j., в которой встречаются производные до k-го
порядка включительно, то имеет место г тождественных соотно-
щений между лагранжевыми производными и производными от них до k-
го порядка. Обратное тоже верно.
Таким образом, в случае G^r-инвариантности появляются тождественные
соотношения между уравнениями Эйлера и производными от них, что
приводит к сокращению числа линейно независимых полевых уравнений.
Иными словами, в (т^-инвариантной теории всегда имеется г произвольных
преобразований полевых переменных, которые можно зафиксировать
дополнительными калибровочными условиями. В случае Сг-инвариантности
уравнения Эйлера, вообще говоря, линейно независимы, и тождеств,
связывающих их, не существует (число переменных равно числу уравнений).
Теория, инвариантная относительно бесконечной группы G^r,
инвариантна также относительно ее подгруппы Gr, полученной из
* Т. е. левых частей уравнений Эйлера, решения которых называют эк-
стремалями.
56
Gee,- при ea (x) = const. Поэтому соотношения дивергенций, о которых речь
идет в первой теореме Нетер, возникают также и в случае G^-
инвариантности. В результате применения обеих теорем Нетер оказывается,
что в том и только в том случае, когда конечная группа Gr представляет
собой подгруппу бесконечной группы,, соотношения дивергенций,
соответствующие бг-инвариантности, являются линейными комбинациями
тождественных соотношений, связывающих лагранжевы производные, а токи
становятся линейными комбинациями лагранжевых производных. Такие токи
Нетер назвала несобственными токами. Законы сохранения для несоб-
ственных токов выполняются на экстремалях тождественно. Несобственный
сохраняющийся ток может быть сведен к дивергенции от некоторого
антисимметричного тензора и, следовательно, обладает суперпотенциалом.
Доказательство теорем Нетер. Сравним доказательство и результаты
обеих теорем Нетер [2, 5, 15]. Пусть
' S = jL (х, и, и', и") dx,
где и -• произвольные функции, описывающие систему (полевые
переменные); х -• координаты (пространственные и временные пере-
менные); штрихи, также как и запятая, означают обычное дифферен-
цирование', L - плотность лагранжиана.
Сделаем преобразование у --= х Ax; v (у) = и + А и. При этом вариация
формы и имеет вид бы = Дм -¦ (ди/дх) Ах. Тогда условие инвариантности
действия примет вид
Поскольку соотношение (4.1) удовлетворяется при интегрировании по любой
