Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
частицам, взаимодействующим с калибровочным полем. Пусть
где I - генератор некоторого представления группы Gr, получаю
щейся из Gxr при ея(х) = const.
Предположим, что взаимодействие (смешанные члены в Ьвз) не зависит
от производных Ля. В этом случае для определения Lb3 получим следующую
систему уравнений:
fac{dLB3 !дАь^)А1 = - (<Э1вз/<5ф)/ф -(^вз/аф.^/ф.ц -fh.c.; (5.13)
где h.c.-эрмитово сопряженные члены. Из (5.14) следует, что Ьвз зависит от
аргументов, имеющих вид ковариантной рроизвод-
Нетрудно убедиться, что уравнению (5.13) удовлетворяет лагранжиан
взаимодействия
где т произвольно. Таким образом, простейший лагранжиан, инвариантный
относительно G^ и описывающий калибровочное поле и взаимодействие
этого поля, например, со спинорным полемф, имеет вид
(5.12)
а
а
а
дЬ^/дАЪ = - ("ЗТвз/Зф.цКФ + ф/дТвз/дф.ц,
(5.14)
а
а
ной:
(5.15)
LB3 = Фу^ уфф- Ун ФУ" Ф-т ФФ.
(5.16)
L = - V4 УГ + ФУ* Уц ф-УцФУ** Ф-тфф,
(5.17)
где у*1 - матрицы Дирака.
3 Зак. 1323
65
Уравнения полей. Уравнения калибровочного поля
для лагранжиана (5.10) имеют квазимаксвелловский вид [17]:
d-F^-fbacFr A'v = 0,
или dvF%v = J%, или Vn^av = 0.
Если fbc - структурные константы группы изотопических вращений,
уравнения (5.18) представляют собой уравнения для бозонов Янга-Миллса.
В электродинамике мы имеем однопараметрическую абелеву группу
калибровочных преобразований, для которой fbac = 0. Поэтому уравнения
(5.18) переходят в уравнения Максвелла: dvF^v = 0.
Уравнения движения частиц, описываемых полем ip и взаимо-
действующих с калибровочным полем, записываются в виде [18]
SL/8ip = дИд ip - VpdL/dVpip = 0,
что для лагранжиана (5.17) дает ¦у^УцТр - т§ = 0.
В искривленном пространстве-времени вариационные уравнения
калибровочного поля принимают вид [19]:
ду (| h | dL/dF"*) =1 h | (J* + jV). (5.19)
Уравнения движения частиц в калибровочном и гравитационном полях:
| h | dLldii-v|l (I h | дЬ/дуц ip) = 0,
где (I h | д1/<5уц t = дц( | h | дЦдV^ip) у I h | (dL/dV^) IAa .
a
Слабый закон сохранения для суммарного тока:
<v[lftl(^A)]=o.
Обобщенные уравнения Эйнштейна, или уравнения поля репе-
Uji • tv _j_ Tv - 0 те
pOB '' v • (х (всех полей) ¦ ц (всех частиц) ' * *
2 (Lv0l-lU в* U) + 2 ((dL/dvv я|1 )Vm- L&1) =0.
Физический смысл этих уравнений-равенство нулю суммы тензоров
энергии - импульса всех полей, входящих в лагранжиан.
Если гравитационное поле рассматривать как калибровочное, связанное
с однородной локальной группой Лоренца, то для квадратичного по тензору
Римана лагранжиана уравнение (5.19) переходит в R^.v = Jfa.
66
Тождества Нетер и законы сохранения. Заменяя в тождествах
(4.11) аа на fbacAc, на 1, получаем [4,5]
(5.20)
где ЬЫЬА^ = dL/dA" - dvdL/dA°y.
Поскольку Ля и Ля^ входят в L только через F"v, удобнее переписать
(5.20) через производные по F1*?. Используя соотношения
дША- |л"
1 jx.v
dL!dAl.v Ця = const = ~dL!dF% = д1>дра^
получаем
- = -nrM-dv - d±-fbacA%-,
б л" з^ 3/*v dFbv
(д^АЧп'л^-Н4:пл)- <5'21)
Учитывая закон преобразования для тождествам (5.20) нетрудно придать
вид ковариантной дивергенции от лагранжевой производной:
V" (djLldF^ - fbacAcvdL/dFb^) ^ 0, (5.22)
или, возвращаясь от производных по ,F"v к производным по Ля, У^(6Т/8ЛЯ)^
0.
Мы получили сильный закон сохранения, справедливый независимо от
вида полевых уравнений для Ля.
Тождества (5.21) на экстремалях приводят к обычному закону сохранения
(слабому):
d"{fbaCASdLldFb)=d/j"= 0 (5.23)
о
для тока "самодействия" калибровочного поля J& = fb A?.dLldFb .
(A Q.C V |1V
Относительно локальных калибровочных преобразований закон
о
сохранения (5.23) нековариантен. Несобственный ток по своему смыслу
аналогичен псевдотензору энергии - импульса гравитационного поля в ОТО
и мог бы быть назван псевдотоком. Он равен
дивергенции антисимметричного тензора. В электродинамике о
Ja = 0 из-за абелевости калибровочной группы.
3* 67
Рассмотрим теперь лагранжиан (5. 17). Тождества (4.11) в этом случае
выглядят следующим образом:
fbacAl ЬЫЬА1 + {ШЩН-^1ЬЫЬ^ = д^ (6?/6Л"), (5.24)
где
dL/dAl = dLJdAl + dLJdA" = % + J", (5.25)
= - (<9Z.B3/5VM,Tp) /гр -f •ф/дТвз/дУд'ф. Если А* г|) и г|) - реше-
а а
ния уравнений Эйлера, то из (5.24) получаем закон сохранения
<Ч^ + ^)=°- (5-26)
Закон сохранения (5.26) ковариантен. Это обычный (слабый) закон
сохранения тока, но несобственный. Интересно, что его структура подобна
структуре закона сохранения энергии в ОТО: сохраняется в обычном смысле
ток "материи" + псевдоток поля. Ток "материи", т. е. частиц,
взаимодействующих с калибровочным полем, сохраняется лишь в смысле
ковариантной дивергенции. В этом легко убедиться, записывая тождества
Нетер для лагранжиана
(5.16):
(6L/6i)')/^ - if/ (6L/6if) = 0.
а а
Раскрывая лагранжевы производные 6L/6if и 6L/6if, получаем
" - fac KJЬ = 0-
Учитывая, что преобразуется по регулярному представлению Gr, т. е. б
J" = fbac запишем сильный закон сохранения для тока частиц в ковариантном
