Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
области, то подынтегральное выражение обращается в нуль тождественно, и
мы получаем дифференциальное условие для
8L/&u = dL/du-дц дЬ/ди,^ +d^lldL/du,vlx - лагранжева производная.
Уравнение (4.2) представляет собой дифференциальное уравнение Ли, по
которому можно найти явный вид лагранжиана, если известны вариации Ах
и А и или бы. Представим уравнение (4.2) в виде
J [6L + div (LAx)] dx = 0.
(4.1)
б S = 0:
6L + div (LAx) = 0,
(4.2)
Выражение (4.3) является тождеством относительно всех входящих в него
аргументов, если 5 - инвариант. Заметим также, что оно справедливо для
любых функций и, не обязательно являющихся решениями уравнений
Эйлера. Для выполнения (4.3) безразлично также поведение и на границе,
так как дивергенциальный член не отбрасывается. В дальнейшем нас будут
интересовать два случая: 1) и - экстремаль; 2) и - решение обобщенных
уравнений Эйлера с правой частью специального вида.
Рассмотрим частные случаи инвариантности. Инвариантность
относительно конечной группы. Пусть S инвариантен
относительно конечной группы GT и вариации имеют вид: бл41 = &аХ.х^-
\ б и = еа/ы; Ей =
а а
= (1и - Хх^д^и) еа. Если X = ?^1дц-генераторы Gr в диффе-
а а а
ренциальной форме, то
бх^ = ?оба; бы = (/ы-1а<3цы)еа. (4.4)
а
Выражение (4.4) показывает, что вариация формы функции
устроена аналогично производной Ли (см. § 8). Подставляя (4.4)
в (4.3), вынося параметры га из-под знака дивергенции и собирая члены при
одинаковых еа, получаем
^Чь-^ы) = -дй
ои а
IT flv-*-№-8dvu)
ди,ц du,vy, / а
+ L^+~~ (/".v-iaM.vx)
' ди,1xv "
(4.5)
или
(/ы -?а д^ы) б!/бы =---др. ./?. (4.6)
а
Итак, г линейно независимых комбинаций лагранжевых производных
ЬЫЬи в случае инвариантности S относительно Gr обращаются в
дивергенции независимо от того, является ли и решением уравнений Эйлера
или нет.
В обычной вариационной задаче на отыскание экстремума S интеграл от
правой части (4.5) преобразуется в интеграл по поверхности и, поскольку
вариации функций предполагаются исчезающими на границе области вместе
со всеми своими производными, обращается в нуль (задача с закрепленными
концами). При этом из 6S = О и из произвольности б и следует уравнение
Эйлера: 8Ы8и = 0.
В случае групповых вариаций бы, вообще говоря, не исчезают на
границе (концы до некоторой степени свободны), вариационный принцип
дает только соотношения (4.5), а уравнение Эйлера не предполагается
выполненным.
Нели и - экстремаль, т. е. бL/Ьи = О, то из (4.5) вытекает известный
дифференциальный закон сохранения - 0, где
(
ЪЬ л dL <9V
--
-dv
[I и -\>адки) -)- L|o -j-
а
--J- (dL/dUfllv) (/tlt v Ut v?.
(4.7)
a
- сохраняющийся ток. Если лагранжиан не содержит вторых производных
от полевых переменных, сохраняющийся ток удобно представить в виде
где Г((=м,у dL/ди>(1 - ЬЬ^ - канонический тензор энергии - импульса.
Если и - решение "обобщенного" уравнения Эйлера вида бН/бы = 0, где
0 - новые функции (например, источники, не включенные в лагранжиан), то
из (4.5) получим "обобщенные" неоднородные законы сохранения типа
частичного сохранения аксиального тока (гипотеза РСАС):
Из полученного выражения вытекает, что отличие дивергенции тока от
нуля, т. е. нарушение законов сохранения и, следовательно, симметрии,
можно связать определенным образом с новыми источниками. Соотношения
(4.5) показывают также, что выражения для дивергенций токов можно
получить непосредственно из полевых уравнений, свертывая их с
вариациями формы волновых функций, порожденными группой
инвариантности Gr[16). Из ЬЫЬи = 0 следует = 0, и в этом смысле законы
сохранения являются следствием уравнений поля. Таким образом, первая
теорема Нетер вовсе не дает непосредственно законов сохранения. Она лишь
утверждает, что в случае наличия определенной симметрии в вариационной
задаче (или в соответствующей физической ситуации) можно составить
выражения (называемые токами), дивергенции которых равны линейным
комбинациям лагранжевых производных. Эти дивергенции обращаются в
нуль на экстремалях, и тогда получаются дифференциальные законы
сохранения. Однако соотношения дивергенций, о которых идет речь в
первой теореме Нетер, выполняются и в том случае, когда уравнения поля
лишь частично совпадают с уравнениями Эйлера. Выбор вида уравнений
поля (и, следовательно, вида законов сохранения) лежит уже вне рамок
первой теоремы Нетер.
Инвариантность относительно бесконечной
группы. Допустим теперь, что интеграл действия S ин-
(4.8)
dV.Ja + (c) (/" - ??дуМ) = 0.
а
59
Вариантен относительно Gxr. Пусть, как и в случае G,., бх и 6м лй- нейны
относительно е°(х) и их производных. Тогда вариацию формы можно
записать в виде
Ъи = аа{х,и,и', ...) е°(х) + Ь%(х, и, и, ...)два(х)!дх^ (4.9)
(для существования несобственных законов сохранения достаточно первых
производных от га(х). В этом случае
(6L/6M)6M=(6L/6M) [аа{х, и, и , ...)еа(х) + Ь% (х, и, и', ...) дга/дхН. Теперь на
