Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
Константа ^2/р0 определяет силу взаимодействия ф- и я-полей, а также
самодействия я-поля.
Заметим, что из формулы (26.6) следует неустойчивость системы
взаимодействующих тахионов относительно сколь угодно слабого
стабилизирующего возмущения. Действительно, если при фиксированном Я
рассмотреть в (26.6) предел g->- + 0, то получим, что второе слагаемое в
(26.6) стремится к бесконечности, а первое превращается в квадратичную
форму, описывающую невзаимодействующие безмассовые частицы и
частицы с положительным квадратом массы т2 = 2 Я. Учет взаимодействия
делает массивную частицу неустойчивой.
Построим теорию возмущений в терминах переменных ф, я. Элементами
диаграмм теории возмущений будут две линии, соответствующие полям ф и
я, одна вершина, соответствующая ф - я-взаимо- действию, и бесконечное
число вершин, соответствующих я - я-взаимодействию. Приведем
выражения для линий, вершины ф - я-взаимодействия и первой из вершин я
- я-взаимодействия:
Здесь ф-поле обозначено одинарной линией, я-поле - двойной. В я - я-
вершине черточками отмечены выходы вершины, несущие импульсы kx и k2.
Скалярное произведение именно этих импульсов фигурирует в выражении,
соответствующем этой вершине.
= ]/р exp (i ф), ф = УехР ( -• i Ф), а затем вместо р введем пере-
+ тЫх-
(26.4)
Фф/V2р"; л-у У2р0 я,
(26.5)
превращающее выражение (26.4) в
S - -j" [V2 (Уф)2 -|- V2 У2/Ро л (Уф)2 +
(26.6)
-(кг + 2Л)-1;'
(26.7;
22а
Выражение, соответствующее диаграмме теории возмущений, можно
получить, проинтегрировав произведение выражений, соответствующих
элементам диаграммы, по независимым импульсам и умножив результат на
множитель
где г - порядок группы симметрии, с - число независимых контуров
диаграммы. Так как построение теории происходит в евклидовых
переменных, то для получения физических результатов необходимо
соответствующие диаграммам выражения продолжить в область физических
энергий и импульсов.
Полученная теория возмущений не содержит инфракрасных рас-
ходимостей, но расходится при больших импульсах и формально является
неперенормируемой. Поэтому более последовательно было бы сначала
проинтегрировать по быстропеременным составляющим фа, ф1( полей ф, ф,
определяемых как часть разложений Фурье
ф (х) = J ехр (ikx) ф (k) d/г; ф (х) = J ехр (- ikx) ф (k) dk, (26.9)
а именно, интегралы отф (k) ехр (ikx), ф (k) ехр (- ikx) по области | k | > k0.
В интеграле по медленно меняющимся полям (ф0 (х) = = ф (х) - ф! (х), ф0
(х) = ф (х) - фх (х)) уже можно перейти к полярным координатам.
Проинтегрировав функционал ехр 5 по быстропеременным составляющим
полей фь фь получим функционал ехр S, содержащий только медленно
меняющиеся составляющие полей ф, ф. Выражение для S в первом
приближении совпадает с выражением для S и отличается от него
поправками, которые сокращают расходимости при интегрировании по
медленно меняющимся полям. Эти поправки здесь рассматривать не будем.
Импульс k0, разделяющий большие и малые импульсы, можно оценить по
порядку величины. Результат такой оценки формулируется в виде неравенств
которым можно удовлетворять, если мала константа связи g.
В качестве примера приложения теории возмущений с элементами (26.7)
вычислим время жизни массивной частицы, определяемое диаграммой
второго порядка:
(1/г) (- Щ2л)пу,
(26.8)
Vl <tk0 С Wg для я= 4;
V'k < k0 < Х/g для ii = 3,
(26.10)
(26.11)
Диаграммы, возникающие за счет я - я-взаимодействия, не дают вклада в
мнимую часть. Физически это соответствует тому, что рас
пад массивной частицы на две другие такой же массы невозможен.
Соответствующее диаграмме (26.11) выражение имеет вид
- !_ Г d"kl i- f ">№. (26.12)
2 Ро (2я)" J kfkl 2X(2n)nJ kfkl K '
Рассмотрим мнимую часть этого выражения при k2 = - 2Я. Вследствие
равенства k = kx + k2 имеем
kxk2 = V2 + k2)2 - - - - Я - (&! + k2)/2;
(M2)2 = ^2 + Я, (ki + ft!) + V4 (fe! + 62)2.
Вклад в мнимую часть дает только первое слагаемое К2 в правой части
последней формулы. Остальные слагаемые приводят к вещественным, хотя и
формально расходящимся интегралам вида J dnk1lk2, |dnku j (k\lk\) dnky,
таким образом,
Im 2 = - Im Ykgl2 (2я)п] J" dn kjkik1. (26.13)
Интеграл в этой формуле сходится для я = 3 и расходится для я = 4.
Мнимая часть интеграла конечна как при я = 3, так и при я = 4. Совершив
аналитическое продолжение /г2 ->¦ - 2/, -]- Ю, получим
Im 2 = gY2Я/26 для я = 3; Im 2 = 2Я/25л для я = 4. (26.14)
Соответствующие формулы для времени жизни я-частицы имеют вид т =
26g-1, я = 3, т = 27 ng-1 (2Я)-1/2, я = 4. (26.15)
Модифицируем теперь континуальный интеграл для учета квантовых
вихрей. Рассмотрим случай я = 3 (одномерное время и двумерное
пространство). Квантовым вихрям соответствуют линии в трехмерном
пространстве (х0, хъ х2), на которых обращаются в нуль функции ф, ф, по
которым происходит интегрирование. Фаза ф функции ф получает
приращение 2 яя (я ¦- целое) при обходе вокруг линии. Рассмотрим здесь
