Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
пространства, в котором действует группа внутренней симметрии. При
пренебрежении эффектами тяготения нетривиальная связность порождается
только последней группой и задается набором векторных полей Янга-
Миллса [22], число которых совпадает с размерностью калибровочной
группы. В рассматриваемой модели набор полей первого класса содержит
спинорные поля лептонов, а калибровочная группа - это группа О (3). В
качестве внутреннего пространства взято произведение линейного
пространства ее представления и нелинейного многообразия, в котором она
действует. Линейной компоненте слоя сопоставлен мультиплет спинорных
полей лептонов. Простейшей возможностью для нее является пространство
векторного представления" R3. Лептоны, т. е. р, е, v = уе + Vp, (антимюон,
электрон и нейтрино), объединяются в трехмерный вектор, так что
пространство R3 хорошее и с физической точки зрения.
Можно отличить нейтральный лептон от заряженного, если указать,
какой из генераторов группы О (3) является зарядом. Таким образом,
задание заряда равносильно введению направления в Rs, которое можно
назвать нейтральным. В результате возникает многообразие направлений S2,
которое считается прямым множителем во внутреннем пространстве.
Итак, в модели присутствуют три фермиона фь ф2> Фз> объединенных в
изовектор ф ? R3, набор скалярных полей пъ п2, п3, удовлетворяющих
условию
и образующих единичный вектор п ? S2, и три векторных поля Z^, Z\, Zfu
образующих изовектор ZM ? Rs.
Удобно ввести три вещественные антисимметричные матрицы:
задающие представление алгебры Ли группы О (3), и рассматривать набор
Vlt F2, Vз как трехмерный вектор V.
(25.22)
(25.23)
223
Действие калибровочной группы запишем в инфинитезимальной форме:
где е = е (х) - вектор бесконечно малого локального поворота. Здесь и
далее используются обозначения (,), Д для скалярного и векторного
произведений в R3, например ф Д е = (К, е)ф.
Через поля и п можно построить еще два триплета векторных полей:
которые векторно преобразуются при калибровочных преобразованиях
Эти поля можно использовать в дополнение к полю Z^ при определении
ковариантной производной поля ф, получая матрицы путем тензорного
умножения ZY^ на п.
Рассмотрим конкретную комбинацию:
построенную с помощью матрицы у5 = - у6, у| = •- 1). Она выделена
дополнительным условием коммутации с преобразованием
где а - бесконечно малая константа. Выражение (25.27) определяет
инфинитезимальную связность, ассоциированную с группой SU (3).
Лептонное число L, порожденное обычным фазовым преобразованием
где р - константа (не зависит от х), и заряд Q, порожденный генератором
(V, п), определяют полный набор квантовых чисел для классификации
лептонов. Преобразование (25.28) при этом производит дополнительную
классификацию нейтральных лептонов, абсолютизируя различие их
противоположных спиральностей.
Лагранжиан, инвариантный по отношению к описанным преобра-
зованиям, имеет вид
L=(l/2i) {ф^Фцф - (уцУцф) ф) +(\/e2)LYM+(m2/2e2)(Yll, УД,
бф = Ф Д е; Ьп = п Д е; bZ" = d^e + Z^ Д е,
(25.24)
Уц = дцП + Zд Д п; = п Д Д,
(25.25
87* = Д Д е; 6ХЙ = X, Д 8.
(25.26)
ф + (Z,, V) ф + (Х^ (r) п + п (r) X") увф, (25.27)
(25.28)
бф = :фф; бп = 0; бZM = 0,
(25.29)
(25.30)
где Ьум - лагранжиан Янга - Миллса для поля Z^:
LYM = - V4 (Zwv, Z^); Zilv = d^Zy - 5VZU + Z^ Д Zv. (25.31) Константа e
безразмерна, m имеет размерность массы.
224
Выпишем отдельно члены лагранжиана (25.31), описывающие
взаимодействие фермионов с векторным полем:
Li = i (Z" ой) + i (Х^, (25.32)
где
vn = aix = (Ф") ТмТбФ + ФТцТб (ПФ)-
(25.33)
Выражение (25.33) аналогично стандартной (V - Л)-структуре в
обычной теории слабых взаимодействий. Эта аналогия подтверждается
поведением Lx по отношению к операторам пространственного отражения Р
и отражения заряда RQ. Швингер [50] определил геометрически отражение
Rq как переход к античастицам с последующим изменением знака
нейтрального направления в зарядовом пространстве R3. В явном виде Rq
определяется следующим образом:
Заметим, что Х,1 = У,| = 0. Билинейные формы ад преобразуются следующим
образом:
так что при отражении заряда второе слагаемое в (25.32) меняет знак. Оно же
меняет знак при пространственном отражении, так что взаимодействие Lx
инвариантно относительно преобразования комбинированной четности RQP.
Рассмотрим теперь возможную структуру массовых членов для
фермионов, имея в виду, что их можно добавлять к затравочному
лагранжиану (25.30) или вычислять динамически. Возьмем три матрицы /, i
(V, п), п <Е> п, линейной комбинацией которых может быть матрица
массового члена М. Условие инвариантности по отношению к
преобразованию (25.29) дает матрицу М вида
причем коэффициенты а и b имеют размерность массы.
Для физической интерпретации модели рассмотрим ее в частной
калибровке п= п0, где п0 - постоянный вектор (0, 0, 1). Это условие
означает, что заряд связан с матрицей - i (У3) и полеф3 нейтрально. Поля ф!
