Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
только вихри с приращением фазы + 2 я ( |я | = 1). Состояния с | я | > 1
неустойчивы и распадаются на вихри с | я | = 1.
Отдельному вихрю соответствует решение уравнения
- Дф -
Яф + (^/2)ффф = 0, (26.16)
полученного вариацией действия S (26.1) по ф, зависящее от переменных в
плоскости, ортогональной мировой линии, и имеющее вид f (г) exp (i 6), где
0 - полярный угол, / (г) - вещественная функция расстояния г от оси
вихря. Уравнение (26.16) сводится к обыкновенному дифференциальному
уравнению для функции f (/-):
г + Г/г - fir2 + If- gm = 0, (26.17)
совпадающему с соответствующим уравнением в теории бозе-газа,
рассмотренным JI. П. Питаевским [51]. Решение этого уравнения обращается
в нуль при г = 0 и стремится к ]/р0 при оо. Характерную длину Я-1/2
естественно назвать радиусом ствола вихря.
Чтобы описать ситуацию с несколькими вихрями [52], Заключим
каждую мировую линию в трубку радиусом г0, значительно большим, чем
радиус ствола вихря Аг1/2. Сумму интегралов й0 вихревым трубкам в
функционале действия S можно, в первом Приближении представить в виде
- SmB(r0) (26.18)
Здесь dsi - элемент длины i вихревой линии; тв (г0) - масса (энергия)
вихря, заключенная в трубке. Вторая величина логарифмически зависит от
г0 и дается формулой
>пв (г0) = 2яр01п (г0/а), (26.19)
где а - параметр порядка радиуса ствола вихря.
Выделим вклад в действие (26.4) от вихревых трубок и сделаем затем
замену переменных (26.5). Получим выражение
X
Xdx
f Г -у (V?)2 + Y ]/ (Vq>r + Y ( ¦ т_1^- + 2ыА
J 2 2 |/ Ро 2^14.^2/Ро л /
2 тв (Го) | dst + (k2/g) J dx. (26.20)
Функционал exp 5 необходимо интегрировать по полям ср, я, а также по
траекториям центров вихрей. Функция ф (х) в действии
(26.20) неоднозначна и получает приращение
±2я 1/2^0 = ±q. (26.21)
Величина д1, обратно пропорциональная константе связи ф - ст- ил -• ст-
взаимодействий, имеет смысл электрического заряда. Чтобы доказать это,
перейдем к континуальному интегралу по новой переменной, имеющей
смысл векторного интеграла электромагнит- ного поля. Проведем такой
переход при малой константе У2/р0, характеризующей ф - л- ист - ст-
взаимодействия. В пренебрежении этой константой вклад поля ф в
функционал (26.20) дается квадратичной формой
- Va I W dx. (26.22)
Следует, однако, учесть, что сейчас функция ф неоднозначна и получает
приращение ± q при обходе вокруг вихревой линии. Восстановим
однозначность, сделав сдвиг
Ф (х) ф (х) + ф0 (х) (26.23)
на функцию ф0 (х) - решение трехмерного уравнения Лапласа,
"вбирающее" в себя неоднозначность. Для нахождения функции Ф0 (х)
заметим, что ее трехмерный градиент Уф0 (х) = h (х) есть решение задачи
магнитостатики в трехмерном пространстве, заданной уравнениями
rot h = gj; div h = 0. (26.24)
231
Здесь j - сумма единичных линейных токов, текущих по траекториям
центров вихрей. Функция ф0 (х) есть неоднозначный скалярный потенциал
магнитного поля h, порождаемого системой линейных токов. Квадрат
.градиента (Уф)2 под интегралом (26.22) превращается в сумму (Уф)2 + (Уфо)2-
Интеграл от первого слагаемого описывает невзаимодействующее поле и не
представляет интереса. Интеграл же от (\7Фо)2 = пропорционален энергии
магнитного поля системы линейных токов.
Обычно решают задачу магнитостатики (26.24) с помощью векторного
потенциала а (х) (h = rot a, div а = 0). Для системы линейных токов
векторный потенциал а есть сумма вкладов от линейных токов:
а (х) = (<7/4я) 2 j d\ (у)/| х -у |. (26.25)
Выражение, получающееся из (26.22) заменой ф -> ф0, можно представить в
виде двойной суммы вкладов от различных токов:
Sx = - (<72/8я) 2 J J dlt (х) d\h (y)/| x-y |. (26.26)
Слагаемые с i = k в (26.26) расходятся при x, близких к у. Эта рас-
ходимость - результат приближения, в котором вихри считаются
точечными, а соответствующие им токи - линейными. Выделение
центров вихрей кружками радиусом г0, большим, чем радиус ство-
ла вихря, но меньшим, чем среднее расстояние между вихрями, ве-
дет к тому, что двойные интегралы в (26.26) фактически берутся по
области | х - у | > г0, а расходимости исчезают. Выражение (26.26),
описывающее в нелокальной форме взаимодействие вихрей, можно
преобразовать, записав его через континуальный интеграл по фор-
муле
| exp { - dx [У2 (rot А)* + iq (AJ)]} П S (div A) ft dAt
exp Sx = -
| exp {- Va j ^ (rot А)2) П 6 (div А) П dAt
(26.27)
Здесь A - переменная континуального интегрирования, имеющая смысл
векторного потенциала, причем его разложение
А(х) == j exp (ikx) a (k) ds k (26.28)
k<k0
ограничено сверху импульсами, меньшими k0 ~ г о К Калибровка div А = 0 в
трехмерной евклидовой теории есть аналог лоренцевой калибровки дрАр, =
0 в четырехмерном псевдоевклидовом случае. Формула (26.27) доказывается
сдвигом A -v А + А0, уничтожающим линейную форму по А в
подынтегральной экспоненте числителя.
232
Таким образом, часть функционала действия, описывающая вза-
имодействие вихрей с полем фазы <р, можно преобразовать к виду
