Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
Покажем теперь, что выписанный интеграл является интегралом по классам
гравитационных полей в смысле § 20, причем клас-
217
сы параметризуются условиями (24.21), а инвариантная мера имеет вид
(23.13). Для этого достаточно проверить, что det Вх совпадает с множителем
Дх [/г], определяемым из условия
Интеграл в этом выражении можно вычислить тем же способом, что и
интеграл в формуле (23.17). При этом получится
Действительно, можно перейти от одного оператора к другому треугольной
заменой
Итак, явно унитарная гамильтонова форма континуального интеграла
после формальных замен переменных интегрирования преобразована к
интегралу по классам эквивалентных полей при некоторой конкретной
параметризации классов. Соответствующая инвариантная мера имеет вид
(23.13). Этим оправдано лоренц-инвари- антное выражение для
континуального интеграла (23.16), которое представляет собой запись этого
же интеграла в другой параметризации классов.
Следующая, более трудная задача состоит в последовательном
проведении перенормировочной процедуры, основанной на инвариантной
регуляризации. Трудности обусловлены громоздкостью теории, а также тем,
что с формальной точки зрения она не является перенормируемой.
(24.31)
Дх [h] = det В,
(24.32)
где оператор В определяется следующим образом:
W = -дх In q-ids ?s + 4 (h^jh00) ds ?°;
Ф01 = dx q23 + q2s ds t3 + q3s ds 2q2s ds ?s -
- Po2//i°<>) q3s + (h"3lh(tm)) q2s - 2 (A0s/A00) q23} ds ?°;
{Blf = dx q31 + qSs ds ^ + q* ds ? - 2q31 ds & -
-{(h°3/h°°) qls -f (hQl/h°°) q3s-2 (hns/h°°) q31} ds ?°;
(BO3 =-&dk q'2 + qds ?* + q** ds ?i_2q(tm) ds ^-
- {(№№*) q2s + (/i°2//i00) qls - 2 (/г°5/Д00)912} da
?°.
(24.33)
Нетрудно убедиться, что
det В = det Bv
(24.34)
go = до. = + (/jOi/Aeo) T,o> j = i, 2, 3.
(24.35)
218
§ 25. Попытки построения калибровочно-
инвариантной теории электромагнитных и слабых
взаимодействий
Рассмотренные выше примеры калибровочно-инвариантных теорий строятся
как часть более широкой теоретической схемы, включающей в себя все
существующие взаимодействия. Построение такой общей модели -
наиболее сложная задача, стоящая перед физикой элементарных частиц.
Более частная - это идея объединения электромагнитного и слабого
взаимодействий (ЕМ + W) при помощи мультиплета калибровочных полей,
давно привлекающая к себе внимание теоретиков. Реализация этой идеи
вызвала к жизни некоторые модели, из которых наибольшую известность
получила модель Вейнберга - Салама [39]. В этом параграфе будет кратко
рассмотрена модель Вейнберга ¦- Салама, а также калибровочно-ин-
вариантная модель электромагнитного и слабого взаимодействий леп- тонов,
предложенная Л. Д. Фаддеевым [40]. Как и любые теории калибровочных
полей, эти модели наиболее естественно формулируются на языке
континуальных интегралов.
В основу модели Вейнберга - Салама положена идея спонтанного
нарушения первоначально существующей инвариантности относительно
калибровочных преобразований векторных безмассо- вых полей типа Янга -
Миллса. Калибровочной группой модели служит группа U (2), изоморфная
группе унитарных матриц второго порядка, сводящаяся к произведению
группы U (1) фазовых преобразований на группу унитарных матриц второго
порядка с единичным определителем.
Порождаемая группой U (2) связность образована векторными полями
двух типов - мультиплетом Л J, (а = 1, 2, 3) янг-миллсов- ского типа и
полем Вм. Кроме этих полей в модели имеются поля лептонов и поля
вспомогательных скалярных полей, приводящие к спонтанному нарушению
калибровочной U (2)-инвариантности. Из полей лептонного типа в модель
входят поля электронного типа:
где - поле электронов; ve - поле электронного нейтрино. Скалярные поля
образуют дублет
b = 1/2(i+ve)J; я = 1/2(1+т6)фе,
(25.1)
(25.2)
Лагранжиан модели имеет вид
L = -1/i (дц Av-dv Ар -]-g (Ац, Av])2 1/1 (dp Bv dv Bp)2 -R (dp
- ig' В") R-Lyv (dp + igtA^ - (i/2) g' Bp) L -
-V2 (dp ф -igB4p -f (i/2) g' Bp ф)2 - Ge (Lq>R + R cp L)+ (25.3)
-f M\ Фф+ - h (ф+ ф)2,
219
где g, g' - константы связи соответственно мультиплета Лн и синглета В(1.
Механизм спонтанного нарушения симметрии и образования массы,
предложенный впервые Хиггсом [41], сводится к появлению аномального
среднего
для нулевой компоненты ф-поля. Такой механизм встречается в теории
сверхтекучести. Перейдем от первоначальных полей к новым "физическим"
полям, вычтя из ф-полей их аномальные средние. В качестве таких полей
можно взять ф~-поле и поля
В первом порядке теории возмущений величина X определяется из условия
максимума выражения - ЛНф+ф + h (Ф+Ф)2 при подстановке в него ф° = X,
ср~ = 0. Это приводит к формуле
В результате оказывается, что поле фх имеет массу Мъ а поля Фа и ф-
остаются безмассовыми. Появление безмассовых возбуждений в моделях со
спонтанным нарушением симметрии впервые было четко отмечено
Голдстоуном [42]. Однако здесь эти возбуждения не имеют
непосредственного физического смысла и могут быть устранены
