Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Коноплева Н.П. -> "Калибровочные поля" -> 95

Калибровочные поля - Коноплева Н.П.

Коноплева Н.П., Попов В.Н. Калибровочные поля — Москва, 1972. — 240 c.
Скачать (прямая ссылка): kalibrovochniepolya1972.pdf
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 105 >> Следующая

Покажем, что действие гравитационного поля можно привести к виду,
аналогичному (16.17) для конечномерных систем, причем соответствующие
связи и гамильтониан удовлетворяют условиям
(16.20) , (16.21). Будем следовать методу, предложенному Л. Д. Фад-
деевым в форме, специально приспособленной для гравитационного поля [8].
Для этих целей удобно использовать формализм первого порядка.
Рассмотрим выражение для действия гравитационного поля в виде (23.3) и
соберем члены в плотности функции Лагранжа, содержащие производные по
времени:
Это выражение не содержит переменных Г{*0, которые входят в L (h, Г)
линейно и имеют смысл множителей Лагранжа. Стоящие при Г((0 множители
(обозначим их ЛЦ°) являются связями. Уравнения связей
и h^v. При этом члены, содержащие производные по времени, принимают
вид
исчезающие при интегрировании по частям.
Формула (24.3) подсказывает, что естественными динамическими
переменными являются
Переменные T?v, отличные от Г?*, являются нединамическими, и их
можно исключить с помощью уравнений связи
В систему (24.6) входят уравнения (24.2) вместе с уравнениями
(2х2)-1 (r"v д0 А^'-ГРр д0 Ар°) = (2х2)- Щ dQhik + (Г°0-Г*) д0 А'°-
- Гг0(д0А"°).
(24.1)

(2х2)_1( ГгУА00)д0(Л00А17г - hiohk°),
(24.3)
если опустить слагаемые
(2х2й00)-1(д0й00дгйго -• дгА00д0А!'°) =
= (1/'2х2)(д0 1пА0одгАг° - дг In А°°д0Аго),
(24.4)
qik = /ро/рго - h00hik; nik = -(1/A°°)Г,9*.
(24.5)
dL (h, Г)/дГ^ = 0, r?v Ф Г&.
(24.6)
dkhi0 + Af" Г5\ + A00 Г'0 + A0s rrt-Ai0 Г|, = 0; dk W
+ hta Y>ak + A/p: Tlak № T°a = 0.
(24.7)
212


Решение системы (24.2), (24.7), выражающее "Нединамические" Г "о, rf0,
Г*- через Г", имеет вид
Г°
1 I о
Ч-
-- T%-di h00/h00-(h0s/h00) Г°.;
- -(1 /Л00) (d, hk0 + h0s Г?-ft*0 T% + № Г°);
: Г* +(Л*°/Л00) Г°
(24.8)
Здесь Г// - трехмерные коэффициенты связности, порожденные трехмерной
метрикой gik (i, k = 1, 2, 3).
Подставим найденные выражения (24.8) для Г;о, l'fo, Г;, в плотность
функции Лагранжа L (h, Г). Пренебрегая слагаемыми типа дивергенции,
исчезающими при интегрировании по трехмерному пространству, с учетом
асимптотических условий (23.2), приведем результат подстановки к виду
2 х2
(Щк(х) д0 qik (х)) - Н(х)-
о (х)
1
То (х) = <?'7 qkl (nih лц - пи nhl) + g3 #3;
Tt(x) = 2 (s/i (qki nhl) - vft (7*' itt!));
H(x) = T0 (x)-di dh qik(x).
(24.9)
(24.10)
Здесь <7з = det g;Ji; P3 - трехмерный скаляр кривизны, порожденный
трехмерной метрикой gik(i, k = 1, 2, 3). Символ Vfe в выражениях для связей
Tt означает ковариантную производную по отношению к метрике gik.
Арновитт, Дезер и Мизнер [34] отметили, что канонические переменные
в выражении для связей имеют наглядный геометрический смысл. Функции
gik, nih служат коэффициентами первой и второй квадратичных форм
поверхности х° = const, погруженной в четырехмерное пространство-время
с метрикой и связностью r?v.
Точнее, qik - контравариантная плотность метрики веса +2, -
ковариантная плотность метрики веса - 1. Связи - это известные в теории
поверхностей соотношения Кодации и Гаусса (см., например, [38]).
Формула (24.9) представляет собой решение задачи приведения действия
гравитационного поля к обобщенному гамильтонову виду, аналогичному
(16.17) для конечномерной системы со связями. Связи 7ф, как можно
проверить, находятся в инволюции. Для записи явных соотношений удобно
ввести величины
т (л) = J тк (*)?,* (x)d3x; Т0(ф) = J До (x)cp(x)d3x. (24.11)
213


Здесь ц - векторное поле; <р ¦- скалярное поле, точнее, скалярная
плотность веса - 1. Имеют место соотношения
{т ы, т Ы} = Т([Т11, ту);
{Т'(л), То (ср)} = г0 (ЛФ);
{Т'о (ф), Т0{Щ = Т (ФРф -фг1Ф),
(24.12)
где [т]1( т]2] - скобка векторных полей, т.е. векторное поле с компонентами
r][<3;Tif -г)1<5ггД; г)Ф = ц1д[ф - дрфф; г]Ф - векторное поле с
компонентами qikdk ф. Соотношения (24.12) - теоретико-полевой аналог
равенств (16.20). Первая строка в (24.12) показывает, что связи Тп (х)(1г =
1, 2, 3) имеют смысл генераторов координатных преобразований. Остальные
соотношения не имеют простого группового смысла.
Отметим дивергенцию (-didhqik) в плотности гамильтониана Н(х).
Если выполнены уравнения связей Т^ = 0, гамильтониан Н сводится к
трехмерному интегралу от дивергенции, т. е. к интегралу по бесконечно
удаленной поверхности. Последний интеграл определяется асимптотикой
функций qik при г = | х | -> оо. Для асимптотически плоского
гравитационного поля имеем
где М - полная масса, которую можно вычислить, интегрируя
энергии гравитационного поля. Подынтегральное выражение
имеющее смысл плотности энергии, равно сумме двух квадратичных форм
- квадратичной формы первых производных от qlk и квадратичной формы
"импульсов" nik - как и полагается плотности энергии волнового поля. В
данном случае это энергия гравитационного поля, которое имеет две
поляризации в соответствии с обычным подсчетом:
2 = 6 (координат) - 4 (связи). (24.16)
qik = § ik (j х2Л4/2л:г) + 0(г~2)
(24.13)
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 105 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed