Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
div fu - f div и -f- и grad f.
Теорема Лиувилля утверждает, что div и = 0. Следовательно,
(-ff) = - agrad"f - vgradrf, (8)
\ Оi /псрем
что согласуется с (6).
Член, ответственный за столкновения, требует специального рассмотрения,
но для многих задач можно оправдать (приближенно) введение времени
релаксации 0~{r,v), определяемое уравнением
(9)
(in
V dt /с
где fо - функция распределения в тепловом равновесии. Предположим, что
неравновесное распределение скоростей обусловлено кратковременно
действующими внешними силами. Тогда возвращение функции распределения к
равновесию определяется посредством (9). Заметим, что по определению
df0/dt = Q, и, следовательно,
д if - Ы _ _ f - fо /, nv
dt Т ' 1 ;
Решение этого уравнения имеет вид
(f - fo)t - if - fo)t-o exp (-ti&~). (11)
Объединяя (2), (8) и (9), получаем уравнение переноса Больцмана в
приближении времени релаксации *):
¦- + a gradvf + v gradrf = -
(12)
В стационарном состоянии df/dt = 0.
*) Если введение времени релаксации нельзя оправдать, то член,
ответственный за столкновения, требует детального рассмотрения, при
котором необходимо вводить вероятности перехода для процессов, приводящих
частицу в объем dr dv и уводящих ее оттуда. В общем случае это приводит к
интегродифференциальному уравнению.
332
ПРИЛОЖЕНИЯ
Электропроводность электронного газа.
Пусть в образце в направлении х приложено электрическое поле Е и имеется
температурный градиент dx/dx. Наша цель состоит в том, чтобы приближенно
найти из уравнения Больцмана функцию распределения и затем определить
поток электрического заряда и энергии, причем далее мы ограничимся
стационарным случаем, так что df/dt-0. Тогда для частиц с зарядом q и
массой т, находящихся в электрическом поле, уравнение переноса (12)
приобретает вид
(""
поскольку ускорение равно
а - qE/m. (14)
Здесь и это х-компонента скорости. Перепишем (13) следующим образом:
(-?3k-?)- оч
где /о- функция распределения при тепловом равновесии. Предположим
теперь, что мы имеем дело со слабыми полями и малыми градиентами, так что
изменение функции распределения будет невелико, и поэтому можно
пренебречь в выражении для f квадратичными членами и произведениями с (/
- fo). Иными словами, мы предполагаем, что (/ - /о) <С 1. В этом
приближении
f-f.-^(4f-S-+"4r)- <ш>
Эффекты более высокого порядка можно найти посредством итераций, когда
при нахождении решения в заданном порядке для выражения в скобках
используется решение предыдущего порядка.
Функция /о зависит от энергии частицы е, температуры т и химического
потенциала р, причем энергия частицы зависит от ее скорости. Таким
образом,
Л1± - ЁЬ- (\7\
дх Зц dx "г" дх dx ' 11
(18)
ди де du де ' '
Обычно электропроводность определяется при условиях
dx/dx = 0 и dnjdx - 0, где п - концентрация носителей. Тогда
dfo/dx = 0 и (16) сводится к соотношению
f = f0-rqEu-g-. (19)
IX: УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА БОЛЬЦМАНА
333
Для частиц с зарядом q плотность электрического тока определяется
следующим образом:
поскольку^ uf0dv - 0, так как /о - четная функция компоненты
скорости и. Вынося Т за знак интеграла, мы предполагаем, что время
релаксации не зависит от скорости, однако теорию легко построить и без
этого ограничения.
В случае распределения Максвелла
где v - величина скорости: v2 = + v2 -f- v\. Физический
смысл функции распределения в форме (21) следует из определения fo
посредством (1). Оно отличается от определения, использованного для / в
гл. И или в гл. 13. Заметим, что для распределения Максвелла
Но кинетическая энергия для движения в ^-направлении равна
jq = ^ qujdv = - Tq2E^u2 dv,
(20)
(21)
а/о Lf
дг т '°'
(22)
и, следовательно, согласно (20)
= ~^~\u2f0dv.
(23)
'/2 tn jj u2f0dv = Ч2пт,
(24)
так что
(25)
Электропроводность равна o = jg/E или
(26)
ЛИТЕРАТУРА*)
Т. М. Земанский, Температуры очень низкие и очень высокие, "Мир-". 1968.
2. М. Planck, Ober das Gesetz der Energieverteilung im Normalspektrum,
Ann. der Phys. 4, 553 (1901).
3. J. W. Gibbs, Elementary principles in statistical mechanics, developed
with especial reference to the rational foundation of thermodinamics,
Yale Univ. Press, 1902.
4. N. Bohr, On the constitution of atoms and molecules, Phil. Mag. 26, 1
(1913).
5. Atomic energy levels, Nat. Bureau Stand. Circular 467.
6* В. И. Смирнов, Курс высшей математики, "Наука", 1974, т. 3, ч.2.
7. R. С. Tolman, Principles of statistical mechanics, Oxford Univ. Press,
1938.
8. 4. Киттель, Введение в физику твердого тела, "Наука", 1962.
9. N. Kurti, Nuovo Cimento, Suppl. 6, 1109 (1957).
10. M. Zemansky, Heat and thermodynamics, McGraw-Hill, 1968.
11. I. Jeans, Musterious universe, Cambridge Univ. Press, 1903, p. 4.
12. Дж. Майер, М. Гипперт-Майер, Статистическая механика, ИЛ, 1952, гл.
4.
13. Т. С. Hannan, J. М. Honig, Thermoelectric and thermomagnetic effects
and applications. McGraw-Hill, 1967.
14. N. F. Ramsey, Phys. Rev. 103, 20 (1956).
15. M. J. Klein, Negative absolute temperature, Phys. Rev. 104,
