Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
т. е. тот интервал, к которому принадлежат среднеквадратичные значения
флуктуации напряжения.
Рис. VIII.2. Передающая линия длиной / с согласованными оконечными
нагрузками, используемая для вывода теоремы Найквиста,
Волновое сопротивление передающей линии ZB равно R. Согласно основной
теореме для передающих линий оконечные нагрузки согласованы с линией,
если их сопротивления R одинаковы
согласованной нагрузке, равна feT; коэффициент 4 входит в (1) потому, что
в цепи (рис. VIII. 1) мощность, выделяющаяся на произвольной активной
нагрузке R', равна
/ГА /у- У2)*
~ (R + R'f
(2)
и при согласовании (R' = R) имеем (V2)/4R.
Рассмотрим передающую линию длины I с волновым сопротивлением ZB = R, к
обеим концам которой подключены сопротивления R (рис. VIII. 2). Тогда вся
энергия, проходящая по линии, будет без отражения поглощаться
соответствующим резистором. Вся цепь поддерживается при температуре Т.
Передающая линия по существу представляет собой одномерную
электромагнитную полость. Мы используем для распределения фотонов в
тепловом равновесии результаты гл. 15, но теперь вместо трех измерений
ограничимся одним измерением. По передающей линии могут распространяться
две фотонные, или электромагнитные, моды (по одной в каждом направлении),
занимающие частотный интервал
6/ = c'Jl, (3)
VIII. ТЕОРЕМА НАЙКВИСТА
329
где с - скорость распространения по линии. По линии распространяется мода
только одной поляризации, и каждая имеет в равновесии энергию
Гг(r)
ехр (Йм/йцГ) ¦
1
(4)
в соответствии с распределением Планка (15.7). Обычно в цепях мы имеем
дело с классическим пределом Sco -СкБТ, и поэтому тепловая энергия на
одну моду равна къТ. Отсюда следует, что при частотном интервале Af
энергия в линии равна
А/. (5)
9 b Т Af __ ^ L
Б "бТ~ ?
Таким образом, скорость передачи энергии по линии в одном направлении
равна
КТМ. (6)
Рис. VII 1.3. Зависимость среднеквадратичной величины напряжения от
сопротивления для различных проводников, в том числе для электролитов.
Зачерненные кружки -угольная нить, прямые крестики - проволока из
"адванса", косые крестики- раствор CuSOi в воде, треугольники - раствор
NaCl в воде, кружки с точкой-раствор KjCrC>4 в воде, светлый кружок -
раствор Ca(NOs)2 в воде
С другой стороны, вся мощность, выходящая из линии на конце, поглощается
в оконечном импедансе на этом конце. Мощность*), подводимая к нагрузке,
равна
P = (f)R = kbT&f. (7)
Но К = 2 Rf, и поэтому
(V2) = 4kB TRAf.
(8)
Этот результат и есть теорема Найквиста.
Зависимость (V2) от R и Т была обнаружена экспериментально Джонсоном
[131]. По наблюдаемой мощности шума он определил постоянную Больцмана кв,
и найденное значение совпало с точным значением в пределах 8%. На рис.
VIII. 3 приведены его результаты, показывающие зависимость (F2) от R при
постоянных температуре и А/.
*) При тепловом равновесии нагрузка должна с той же скоростью отдавать
энергию в линию, так как иначе ее температура стала бы повышаться.
330
ПРИЛОЖЕНИЯ
IX. Уравнение переноса Больцмана
Рассмотрим классическую теорию явлений переноса, используя уравнение
переноса Больцмана. Основанный на этом уравнении метод оказывается не
только очень полезным при рассмотрении многих задач, но и достаточно
простым.
Воспользуемся шестимерным пространством в декартовых координатах г и V.
Функция распределения f(r,v) определяется соотношением
f {г, v)dr dv = число частиц в drdv. (1)
Скорость изменения со временем df/dt в точке г, v определяется
перемещением частиц внутрь элемента объема и из него, а также
столкновениями между частицами:
К. = (11) + . (2)
dt \ dt )перем V. dl /столки
Предположим, что число частиц сохраняется. Если это не так, то в правую
часть (2) следует добавить члены, связанные с образованием и
рекомбинацией частиц. Введение добавочных членов необходимо, например, в
теории полупроводников и в теорий ядерных реакторов.
Наиболее простой способ вывода уравнения Больцмана основан на следующих
рассуждениях. Рассмотрим, как сказывается на функции распределения
f(t,r,v) смещение по времени на dt. Если следовать вдоль линии тока, то
из теоремы Лиувилля следует, что распределение сохраняется, т. е.
f(t + dt, г-f dr, v + dv) = f(t, r, v), (3)
если не учитывать столкновений. Получаем
f (f-f dt, r-f dr, v+ dv) - f{t, r, v) = dt(-^r) , (4)
\ UI /СТОЛКИ
где правая часть определяет влияние столкновений. Таким образом,
dt % + dr gradrf + dv gradvf = dt )столкн, (5)
или, обозначая ускорение dvjdt через а, имеем
К
dt
+ v gradr f + a grad" f = (-^-)
\ UI /с
(6)
Таково уравнение Больцмана в общей форме. Ускорение можно выразить через
внешнюю силу, действующую на частицу.
IX. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА БОЛЬЦМАНА 331
Вывод можно провести и несколько по-иному. Если число частиц сохраняется,
то должно выполняться соотношение
(
. + div fu - 0, (7)
dt 7перем
где и- вектор скорости в шестимерном пространстве: и = (о,х, сty, аг, vx,
Vy, ?>г).
Тогда согласно векторному тождеству
