Введение в теорию межмолекулярных взаимодействий - Каштан И.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Примером асимптотического ряда является ряд Эйлера
/ (х) ~ 1 - 1\х + 21 ж2 - 3! х* -I- . . ., (П.3.54)
который можно связать с формальным разложением функции
/(*)== С «_Л (П.3.55)
<) 1 н~ я*
о
в ряд Тейлора. Решение задачи аппроксимации расходящегося ряда аналитической функцией может быть получено путем применения метода апирок-симаитов Падэ [61, 62], суть которого сводится к следующему. Положим, что функция / (х) задана рядом Тейлора
/(я)=3 с,/, (П.3.56)
к
сходящимся в некотором интервале. Оборвав ряд на п-тл члепе, получим многочлен, достаточно хорошо аппроксимирующий функцию при ж, близких к нулю. Коэффициенты этого ряда —числа с/с — могут быть использованы для построения иных аппроксимирующих функций, последние могут достаточно точно представлять заданную функцию / (ж) в той области значений х, в которой ряд Тейлора уже более не сходится. В методе Падэ / (ж) аппроксимируется отношением двух полиномов Рт (ж) и <?п (ж) степени лг и п соответственно:
Р (»)
(П.3.57)
Рт (ж) = щ + агх -Ь агхг + . . . + атхт, д
<?п (Я) = 1 -|- Ъгх -I- &2ж2 + . . . -!- Ъпхп.
Коэффициент &0 в (П.3.58), не нарушая общности, мы положили равным единице, тем самым общее число коэффициентов а1 и Ьг равно т -\- п ~\~ 1-Рациональная дробь Рт (ж) / 0>п{х) называется [т/ п] - аппрокси
290
ПРИЛОЖЕНИЯ
мантом Падэ, если выполняется условие
/ (ж) Р
{х)=0(хпт1).
Это условие позволяет выразить т + п + 1 чисел аг и через заданные тп + і коэффициентов ск ряда Тейлора (П.3.56). Полиномы Рщ{х) и (?п (ж) могут быть представлены в виде следующих определителей [61, 62] г):
'т—п+1
^т-п+2
"т-п+2
т—п+З
3
3 с,-
'т-п+2
"т-п+2 °т-тг+3
п-1
"т+2
2
(П.3.59)
"т+2
(П.3.60)
В (П.3.59) и (П.3.60) коэффициент с/с равен нулю, если только / < 0, сумму по / в (П.3.59), в которой нижний предел меньше верхнего, следует заменить нулем.
В качестве иллюстрации аппроксимации Падэ рассмотрим ряд Эйлера (П.3.54). Построим несколько первых аппроксимаитов:
[2/2]
'1 + Ьх + 2ж2
[2/3]
__ 1 -|- 8а; -|- Иж2
1 + 6я + 6ж2 ' '~'~л 1 -\- Зж -|- 18жа -|- 6ж;>
Как доказывается в теории аппроксимаитов Падэ [61, 62], приближение [п/п] дает всегда оценку сверху для аппроксимируемой функции, а [п — 1/п]~ оценку снизу. Если, в частности, положить аз == 1, то получим
[1/1]х-1 = °'6666'> [1/2]Хв-1 = 0,5714, [2/2]^ = 0,6154, [2/3]^ = 0,5882,
\тм = °>5968' [5/6]^ = 0,5960.
Точное значение функции (П.3.55) / (х = 1) = 0,5963.
Метод аппроксимаитов Падэ получил широкое применение при вычислении дисперсионных постоянных Сп по формулам Казимира — Польдера (1.52) — (1.54) гл. П. С помощью аппроксимации [п — 1/п] находят нижнюю границу а (гсо), а вместе с ней и нижнюю границу постоянных Сп. Однако аппроксимация [п/п] не дает возможность найти верхнюю границу для постоянных Сп, так как в пределе о> -» оо аппроксимант [п1п] стремится к конечному пределу и интеграл по частотам в (1.52)—(1.54) теряет смысл. Относительно отыскания верхней границы для С^в см. пункт 1.4 гл. II.
Обобщение формул Падэ, включающее аппроксимацию функции сразу в нескольких точках, рассмотрено в работе [63].
х) В случае, если / (х) является рациональной дробью, для пекоторых п и т аппроксимант Падэ может давать точное значение функции. В этом случае последующие аппроксимаиты Падэ по формулам (П.3.59), (П.3.60) не могут быть определены, так как определители обращаются в нуль.
ЛИТЕРАТУРА
К в в о д е II И 10
1. Лукреций К. О природе вещей.— М.: Изд-во АН СССР, 1958.
2. Ньютон И. Оптика.— М.—Л.: ГТТИ, 1927.
3. Boscovich R. Theoria Philosophica Naturalis reducta ad unicam legem virium in natura existentium. — Vienna, 1758.
4. Margenau H., Kestner N. R. Theory of Intermolecular Forces/Second ed.— N. Y.: Pergamon Press, 1971, ch. 1.
5. Reinganum M.— Ann. d. Physik, 1912, Bd 38, S. 649.
6. Debye P. — Pbys. Z., 1920, Bd 21, S. 178.
7. Falkenhagen M.— Phys. Z., 1922, Bd 23, S. 87.
8. Keesom W. П.— Phys. Z., 1921, Bd 22, S. 129.
9. Heitier W., London F.— Z. Phys., 1927, Bd 44, S. 445.
10. Wang S. C— Phys. Z., 1927, Bd 28, S. 663.
11. London F.— Z. Phys., 1930, Bd 63, S. 245.
12. London F.— Z. Phys. Chem., 1930, Bd 11, S. 222.
13. Casimir H. В., Polder D.~ Phys. Rev., 1948, v. 73, p. 360.
14. Onsager L.— J. Amer. Chem. Soc., 1936, v. 58, p. 1486.
15. Лифшиц E. М,— ЖЭТФ, 1955, т. 29, с. 94.
К главе I
1. Bertoncini P., Wahl А. С— Phys. Rev. Lett., 1970, v. 25, p. 991.
2. Momm #., Мосси Г. Тоория атомных столкновений.— M.: Мир, 1969.
3. Хастед Дж. Физика атомных столкновений.—¦ М.: Мир, 1965.
4. Смирнов.В. М. Атомные столкновения и элементарные процессы в плазме,— М.: Атомиздат, 1968.
5. Armaur I., Bertrand R. R.— J. Chem. Phys., 1962, v. 36, p. 1078.
6. Philipson P. E.~~ Phys. Rov., 1962, v. 125, p. 1981.
7. Thorson W. R.~ J. Chem. Phys., 1963, v. 39, p. 1431; 1964, v. 41, p. 3881.
8. Methods of Experimental Physics/Eds В. Bederson, W. L. Fete.— N. Y.— L.: Acad. Press, v. 8, 1967, ch. 3.
9. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля.— М.: Наука, 1973.
