Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
134
А. Лихнерович
1955 г. Это понятие представлено здесь для упрощения в предположении, что дифференцируемое многообразие обладает псевдоримановой метрикой (хотя это и не обязательно). Оно полезно для исследования волновых проблем, а также для введения концепций элементарного решения и распространения, являющихся основными при разработке квантовой теории полей в искривленном пространстве-времени.
Система уравнений Эйнштейна есть система нелинейных уравнений в частных производных; она квазилинейна, т. е. линейна в главных членах относительно производных максимального порядка. Существенно, что по своему характеру она является гиперболической; из этого факта следует, что релятивистская теория гравитации — аналогично обычной (линейной) теории электромагнитных полей — является теорией распространения волн; это предполагает физическое существование гравитационных волн. Волновые фронты, т. е. характеристические гиперповерхности, тангенциальные к полю элементарных конусов, играют, таким образом, ведущую математическую и физическую роль. Однако при аналитическом объяснении гравитационных явлений возникает дополнительная трудность: система уравнений Эйнштейна является системой, которую можно описывать как «геометрическую», и это проявляется в том факте, что все десять составляющих ее уравнений связаны друг с другом с помощью законов сохранения, которые тесно связаны с инвариантностью относительно отображений. Аналогичным образом это находит свое выражение при выборе и придании физического смысла аксиомам, определяющим дифференцируемую структуру пространства-времени.
Предполагается, что при локальном аналитическом изучении структуры уравнений Эйнштейна для исследования выбрана соответствующая локальная система координат; наиболее удобный выбор — это гармонические координаты, которые осуществляют диагонализацию главных членов в компонентах тензора Риччи благодаря тому, что гармонические условия допускают те же характеристики, что и сами уравнения Эйнштейна.
Работы де Дондера [5, 6], Дармуа [4], Фока [8} и автора этих строк [12—19] в значительной степени прояснили эту структуру уравнений Эйнштейна и ее математическую важность; однако лишь Шоке-Брюа [1] установила впервые локальное существование и теорему единственности для задачи Коши, относящейся к пространствам Эйнштейна. Из самих этих теорем следует, что они по необходимости являются теми же самыми для глобальных исследований. Оригинальный метод Шоке-Брюа основан на использовании идей, предложенных в другой связи Соболевым, и привлечении так называемых обобщенных формул Кирхгофа. Несколько позднее JIepe [И],
5. Теория относительности и математическая физика
135
который хорошо знал и высоко ценил работы Шоке-Брюа, развил замечательную общую теорию гиперболических систем квазилинейных уравнений в частных производных. Уравнения Эйнштейна, Эйнштейна — Максвелла, а также уравнения гидродинамики образуют, таким образом, системы, которые могут быть сведены к гиперболическим системам Лере. Отсюда мож* но усмотреть, каким образом важная тёория Лере применяется к основным физическим системам и какие точные результаты можно из нее извлечь.
Известна важность для недиссипативных систем понятия ударной волны, слабого решения (в соответствующем смысле) фундаментальных уравнений. С этим понятием связан метод, который позволяет коррелировать состояния соседних систем в пространстве-времени при незнании тонкой структуры промежуточных состояний. Ясное и строгое понимание гравитационных и электромагнитных волн было получено с помощью ударных волн; в этих рамках легко проиллюстрировать взаимодействие гравитационных и электромагнитных волн и показать, в каком смысле можно считать, что электромагнитная ударная волна с необходимостью индуцирует гравитационную ударную волну. По этому вопросу мы разработали оригинальную теорию, которая в общих чертах представлена в настоящей статье.
В теории относительности материальные источники не могут описываться с помощью понятия твердого тела, и как следствие для их описания используется теория сплошных сред. С другой стороны, новые экспериментальные данные об астрономической вселенной свидетельствуют о наличии некоторых небесных объектов, обладающих мощными магнитными полями, которые формируют свойства этих объектов. В результате этого в теории относительности гидродинамика и магнитогидродинамика играют еще более важную роль, чем в классической механике. То же относится и к теории упругости, которую мы ради простоты намеренно оставили в стороне. Таким образом, по-видимому, естественная гармония, которая существует между уравнениями Максвелла и релятивистской динамикой вследствие их общего происхождения, делает релятивистскую магнитогидродинамику в целом ряде фундаментальных аспектов более простой и изящной, чем классическая магнитогидродинамика. Мы посвящаем большой раздел гидродинамике и релятивистской магнитогидродинамике, в частности проблемам волн и ударных волн, для которых может быть получена законченная теория.
В заключение дается введение в квантовую теорию полей в искривленном пространстве-времени в рамках теории систем линейных гиперболических уравнений в частных производных с переменными коэффициентами. Коммутаторы, соответствующие
