Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
136
А. Лихнерович
векторному мезону и электромагнитному полю (спин 1), с одной стороны, и микроскопическому гравитационному полю (спин 2, масса 0), с другой стороны, определяются с помощью пропагаторов. Некоторые аналогичные результаты относительно антикоммутаторов справедливы и для полей Дирака (спин 1/2), соответствующих электронам и протонам, а также нейтрино.
Единственная цель настоящей статьи — показать, каким образом (в рамках теории относительности) математическая строгость и физический смысл оказывают друг другу эффективную поддержку.
I. Тензорные обобщенные функции
В первой части мы собираемся показать, каким образом математический формализм тензорных обобщенных функций может обеспечить точный инструмент для исследования волн в математической физике, в частности в теории относительности. Автор ввел этот формализм .в 1959 г. [14] для исследования квантовой теории полей в искривленном пространстве-времени, и мы также будем использовать его в этих целях. Кроме того, мы применим этот инструмент к задачам о волнах применительно к уравнениям Максвелла и уравнениям Эйнштейна таким же образом, как к волнам, которые появляются в релятивистской гидродинамике и магнитогидродинамике.
1. Тензорные обобщенные функции на псевдоримановом многообразии
а. Пусть Vn+1 — выпуклое, паракомпактное, ориентированное, дифференцируемое многообразие размерности п + 1 и класса Ch+1 (A^ 0). Мы определяем на Vrt+i псевдориманов «метрический» тензор g класса Ck(O^ktgZh) и произвольной сигнатуры. В локальном отображении {ха} (а, р, ... = 0,
1, ..., п) многообразия Vn+\ с областью ?2 можно записать
9 Ifl = dxa ® dx*.
Если T и U — два р-тензора, то можно обозначить посредством (T, U) (х) скалярное произведение ThUb точке х из Vn+\-Для отображения Q получаем
(7\ (J)(X) = Tai ... a. U*1 ар(х) NA). (1.1)
Пусть ?Dp(Vn+1)—пространство р-тензоров U на VVh классов Ch с компактными носителями S(U). Если T — локально сум-
5. Теория относительности и математическая физика
137
мируемый р-тензор на Vn+u то для всех U є 2>p(Vn+i) можно положить
(T,U)= \ (Т, U)(x)n(x). (1-2)
УпЪ
где г] — естественный элемент объема многообразия. Локально имеем
tI Iq = Vl 8\dx° A dx1 А ... A dx\ (1.3)
р-тензорная обобщенная функция T на Vn+\ єсть непрерывная линейная форма со скалярными значениями на пространстве
2)p(Vn+i).
Если U є2)р(Ул+і), то T[U] или <Г, U> представляет собой значение T для рассматриваемого тензора U.
В предыдущих определениях непрерывность следует понимать в обычном смысле теории обобщенных функций. При заданном компакте К можно рассматривать последовательность ?/v(v = 1, 2, ...) элементов S)p(Vn+\) с носителями *5(Uv) с= Ki такую, что Uv и все их производные порядка равномерно сходятся к 0 при V—>оо; Г непрерывно, если T[UV] стремится к 0 для всех этих последовательностей, причем носители могут принадлежать произвольному компакту д. р-тензорная обобщенная функция T на Vn+1 определяет на любой области Q из Vn+\ р-тензорную обобщенную функцию, обозначаемую T |q, причем
т I0 [U] = T[U] (Ue=2>p(iі));
T Iq есть сужение T на Q. Носитель S (T) тензора T есть дополнение наибольшего открытого множества, на котором сужение T равно нулю.
Локально суммируемый р-тензор T на Vn+i может быть отождествлен с тензорной обобщенной функцией, обозначаемой Td (или иногда по-прежнему через Т, когда это не может привести к недоразумениям) с учетом формулы (1.2); имеем TD[U] — <Г, Uy для U е 0p(Vn+i). Для антисимметричных тензоров (т. е. форм) имеет место идентификация с потоками в смысле де Рама.
б. Если и есть скалярная обобщенная функция, а V — р-тензор класса Ch, то обозначим посредством и-V р-тензорную обобщенную функцию, определяемую соотношением
(и • V) [?/] - и [(V, ?/)] (U є Ф» (Vn+l)).
Пусть теперь Q — область локального отображения {*“}. При заданных (на ?2) п” скалярных обобщенных функциях
138
А. Лихнерович
Tal ...ар МОЖНО ОГфЄДЄЛИТЬ р-ТЄН30рнуЮ обобщенную фуНК-дию на Q
T=*Tai...apdxa'<8> ... ®dxap (1.4)
следующим образом: если {еа} является системой координат с сопутствующей дуальной системой {dx“}, то мы рассматриваем элемент U из Sfrp(Q), определяемый выражением f/ = [/a‘-%ai® ... ®ev T[U] задается суммой
T{U\=Tat...ap[U*'~ap],
где имеет место суммирование по (ои.......ар).
Наоборот, любая р-тензорная обобщенная функция T на Q может быть описана с помощью следующего выражения: пусть Tal... Op есть скалярная обобщенная функция, определяемая посредством равенства
Tal ...«р[Я-Г[/вв1® ... ®%] (f Є ^0(Q)).
Тогда для U е ^p(Q) имеем
T[U] = T [t/*1 •" V1 ® . . . ® ea J = Ta1 ... ар [и*' apI
и T может быть описано посредством (1.4).
Таким образом, если T является р-тензорной обобщенной функцией на Vn+\, то сужение T на локальное отображение области ?2 допускает (относительно этого отображения) компоненты, представляющие собой скалярные обобщенные функции на Q.
2. Ковариантная производная тензорной обобщенной функции Предположим временно, что h, k ^ 1.
