Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
В релятивистской теории тяготения первичным элементом является то, что математики называют дифференцируемым
*) A. Lichnerowicz, Коллеж де Франс, Париж.
5 Зак. 203
130
А. Лихнерович
многообразием, а именно пространственно-временное многообразие, которое описывает совокупность физических явлений. Однако в момент появления теории Эйнштейна это понятие дифференцируемого многообразия еще не было до конца разработано математиками удовлетворительным образом. С другой стороны, поставленные общей теорией относительности проблемы, т. е. проблемы физики искривленного пространства-времени, должны были быть трансформированы математически в проблемы, связанные с системами нелинейных уравнений в частных производных или же линейных уравнений с переменными коэффициентами. Для этих еще недостаточно определенных многообразий следовало разработать весь функциональный анализ. Общая теория относительности, таким образом, явилась одной из побудительных причин развития (после первой мировой войны), с одной стороны, дифференциальной геометрии в широком смысле (включая группы Ли) и, с другой стороны, функционального анализа на многообразиях, т. е. современной теории систем уравнений в частных производных.
Каково было состояние дифференциальной геометрии в 1915 г.? Исторически понятие дифференцируемого многообразия пришло из механики. Первый пример естественных дифференцируемых многообразий произвольной размерности был приведен в аналитической механике Лагранжа. В этих исследованиях пространств или конфигурационного пространства-времени было более или менее явно представлено не только понятие дифференцируемого многообразия (которое не было формализовано до 1930 г.), но и многие другие геометрические концепции, рассматривавшиеся в понятиях локальных координат.
Необходимо, однако, обратиться к Риману и его знаменитой диссертации «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», чтобы увидеть частично сформулированным то, что ранее в значительной степени не было явным. Родилась геометрия рима-новых пространств. Введение кристаллографом Фохтом понятия тензора дало этой геометрии первый и один из наиболее важных ее основных инструментов. Тензорный анализ, развитый Кристоффелем на чисто математической основе, открыл огромную область применений, хотя, надо признать, несколько формально; однако в 1900 г. благодаря Риччи и Леви-Чивите появились подлинно геометрическая точка зрения и основные применения к классической динамике, теории упругости и к исследованиям сплошных сред, как изотропных, так и неизотропных. Именно эта статья Риччи и Леви-Чивиты [28], замечательная по своей современности, привела Эйнштейна к открытию основ общей теории относительности.
5. Теория относительности и математическая физика
131
С появлением этой теории все изменилось. После окончания первой мировой войны теория относительности стала областью, привлекающей всеобщий интерес как математиков, так и фи-зиков-теоретиков. Вокруг нее стимулированные ею и тем огромным интересом, который она вызывала, появились замечательные геометрические структуры; можно сказать, что теория относительности является одним из подлинных источников всей современной дифференциальной геометрии. Прежде всего произошло почти одновременное открытие Леви-Чивитой и Схоуте-ном понятия параллельности в римановом пространстве. Несмотря на все, что может показаться слишком аналитическим в этой своеобразной геометрии, в ней обнаружились истинно геометрические инструмент, язык и интуиция.
С другой стороны, сама физика в силу очевидных причин стремилась прорвать слишком узкие рамки римановой геометрии. Для теоретиков этого времени представляли интерес только два физических поля: электромагнитное и гравитационное. Именно фундаментальное изучение электромагнитного поля привело физиков к построению специальной теории относительности и вызвало интерес к странному плоскому пространству-времени Минковского и его индефинитной метрике. В рамки общей теории относительности, которая по существу представляет собой релятивистскую теорию тяготения, электромагнитное поле не входит вполне естественным образом, но, по крайней мере частично, искусственно привносится извне. Вследствие этого возникло неудобство, связанное с увеличением числа физических полей, которые необходимо было принимать в расчет.
Таким образом, теоретическая физика оказалась перед необходимостью разработки «единой теории поля». Было предложено искать объединение гравитационного и электромагнитного полей в рамках единого гиперполя, по идее эквивалентного геометрической структуре Вселенной. После 1919 г., когда Герман Вейль сделал первую попытку развить теорию такого рода, многократно предпринимались усилия в этом направлении, но все они оказались физически неудовлетворительными по тем или иным причинам. Помимо пространств Вейля, в которых фундаментальную роль играет конформная группа, появились пространства Эддингтона — первый пример пространств с линейной связностью. Эти первые наброски, еще неуклюжие и изолированные друг от друга, оказались тем не менее очень важными для развития дифференциальной геометрии. Они нуждались в объединении, и этот синтез был осуществлен Эли Картаном в 1922 г. Работы Картана и его переписка с Эйнштейном показывают, каким образом великий теоретик в области теории групп и геометрии черпал вдохновение в развитии фундаментальных физических идей.
