Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.
Скачать (прямая ссылка):
235
вить связь между углами и и со. Сделаем это методом, изложенным в [89]. Используем известную из аналитической геометрии связь между углами и элементами кривых второго порядка: sin2 и = (а&т)3/2ррі; подставим в это выражение формулы (1) и (2) и учтем, что ? = 2«zfco>. Тогда, после преобразований, получим
sin2-u=(l— Ncos со)[1—JVcos(2u±®)][±{\—№)]-*. (9)
Фиксируя N и оо, из трансцендентного уравнения (9) определяем и.
Произведение (6) и (7) дает функцию распределения анаберрацнонных линз:
^(к)И = (1 + ^)[±(1-^)1к+1х
{sin {и — со) sin U [± (COS (D — W)] [ 1 — N\ cos (и — со)]}1/2 Х [sin (и — (D) + Q1 sin U +А% (0))] [ ± (1 — N COS u))]*+3/2 * * '
Различные случаи применения формулы (10) при N = O для плоско-эллиптических ускоряющих линз приведены в работе [89]. В частности, показано, что для твердой линзы с малым показателем преломления N1 и согласующими слоями Ч? (о)« cos1/2 <а. Эта формула может быть применена к линзам из дюраля.
Поскольку жидкие линзы заключены в оболочки, возникает необходимость учета влияния оболочек на коэффициент прохождения D энергии упругих волн. Из формул (5.18) — (5.20) монографии Бреховских [20] легко получить функцию распределения, учитывающую изменение амплитуды при прохождении волн через оболочку:
- {1 - k2d (Z1 - Z2) (Z1 - Z3) [2z2 (Z1 + Z8)]-1}1'2, (11)
где d — толщина оболочки; Do— коэффициент прохождения при d = 0; Zu К ki—волновые сопротивления, длины волн и волновые числа, относящиеся к среде (i=l), материалу оболочки (i = 2) и материалу линзы (і = 3). Если R — радиус кривизны оболочки, то формула (11) справедлива при #>Я<; d^i%2-
236
ЛИНЗЫ
[ГЛ, 8
Предельные углы раскрытия волнового фронта, образованного анаберрационными линзами, получим из условий Ort = л/2 при N > 1 и ю,ж = ю, и = 0 при N<1 [90]:
O)n = arccos (12)
причем плюс —при W < 1, а минус —при N > 1.
8.1.2. Линзы с круговыми поверхностями. Поскольку анаберрационные линзы сложены в изготовлении и обладают большими аберрациями для лучей, распространяющихся под углом к акустической оси, на практике часто используются линзы с преломляющими поверхностями в виде сферы или части прямого кругового цилиндра.
8.1.2.1. Предельные углы и фокусные расстояния. Получим формулы, связывающие угол падения луча на круговую поверхность линзы с углами между преломленными лучами и акустической осью.
Рис. 8.2.
Пусть ?— угол между радиусом кривизны R преломляющей поверхности и акустической ОСЬЮ, б И 8 — углы между той же осью и преломленными лучами, проходящими через произвольную точку на акустической оси и через параксиальный или через волновой фокус соответственно (рис. 8.2). Используя закон преломления и учитывая, что угол падения равен ?, а угол преломления равен ? — б при JV < 1 .и ?+S при >1, получим связь ?, б и е, причем е = ю для параксиаль-
§ 8.11
СФЕРИЧЕСКИЕ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ЛИНЗЫ
237
(13)
(о =
ного ие = у Для волнового фокусов:
tg ? = ± sin б (cos б—N-1) -1,
б —aresin {sinconn [{(1 — ^)-1 — 2sin2 (?/2)}x
Xsin б —sin ? cos б]} при Af <1, (И) .arctg {sin ? [(Af-0"42SiIi*(Р/г)!""1} при Af >1,
Sin (o {COS (o — (1 — Z) Sin (onn [(1 — Af)"1 —
~sinpclg6-2sin2(?/2)]ri приЛГ<1, (15) sin ?{zAf (Af-I)-1^-(I-Z)W X X [Af2-2Af cos 6 + І]""1'2- 1} приЛГ>1.
плюс — при Af <1, знак минус — при
Y = arctg
В (13) знак AT >1.
В (15) Z= (к + 2)/(>с +4), причем х = 0 в осесим-метричном случае и к =•—1/2 в цилиндрическом случае. На рис. 8.3 показаны зависимости ?, б и у от ю для твердых (а) и жидких (б) линз, работающих в воде. Для угла у сплошные линии получены при % = О, а прерывистые — при % = —1/2. Цифры у кривых соответствуют материалам, указанным в табл. 8.1.
Из(13) —(15) вычислим предельные углы раскрытия волнового фронта бпк, сопп и упв для краевого, параксиального и волнового фокусов соответственно. Для этого при Af < 1 положим ? = л/2, а при Af > 1 положим ?n + бпк = я/2 (условие полного внутреннего отражения). Тогда
; == arctg
Yne = arctg
бпк = arccos Af*1;
(Af + 1)1/2 (N - 1)3/2 [N + (N - I)2F1
при N > 1,
(AT1-1) при N<1,
(1 -N){\-(1- Z)[I-Af (1- Af2)1'2-
-(1-Af)2]} [2Af (Af-1)+1]""1 при Af<l,
(Af-1) UAf(Af-X(Af2-
1)-4(1--1Г1/2-
-Z)AfX 1} при
(16)
(17)
(18)
Af>l.
Значения предельных углов для некоторых материалов
238
ЛИНЗЫ
[ГЛ. 8
приведены в табл 8.1, причем углы ^пв даны только для сферического случая.
Оцределим фокусное расстояние луча /л ікак расстояние по акустической оси от преломляющей поверх-
0 15-30 45 60 75 О W Z9 30
Рис 8 3.
ности линзы до точки пересечения преломленного луча с акустической осью. Из рис. 8.2 найдем
y/? = sin?ctgo± (1—cos?). (19)
Исключив ? из (19) и (13), получим
/л/# = N (N2—2N cos б + 1) -1/2 ± 1. (20)
В (20) знак плюс — при N < 1, минус — при N > 1, в том числе и радикала. При 6->~0 из (20) получим
§ 8.1J СФЕРИЧЕСКИЕ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ЛИНЗЫ 239
Таблица 8.1
Параметры линз из различных веществ
Твердые вещества
1 Дюраль 2 Латунь 3 Плексиглас 4 Полистирол
cit 105 см/сек 6,30 4,40 2,67 2,35
