Специальные функции математической физики - Кафтанова Ю.В.
ISBN 978-966-2046-62-5
Скачать (прямая ссылка):
С точки зрения физических условий источник является либо точечным (эпицентр), либо линейно-протяженным на ограниченное расстояние. Для упрощения моделирования будем рассматривать точечный источник, описываемый дельта-функцией Дирака.
Таким образом, как с точки зрения времени, так и с точки зрения пространственных координат функция источника для цунами может быть описана и представлена как дельта-функция Дирака.
Установим, при каких условиях цунами не формируется. Из математической физики хорошо известно, что в пространстве активный точечный источник энергии формирует волны и колебания, описываемые каноническим уравнением Лапласа и краевой задачей Коши.
Решение уравнения Лапласа может быть представлено методом разделения переменных в сферических координатах 46
и выражается через специальные — сферические функции матфизики и через тригонометрические функции.
Волны в свободной однородной среде распространяются сферически и равномерно во всех направлениях, при этом мощность энергии на фронте волны постепенно угасает (пропорционально квадрату расстояния от источника). При этом общая энергия расширяющейся сферической волны, распространяющейся без трения, остается неизменной.
Рассмотрим два варианта распространения расходящихся сферических волн в среде. В случае «А» мы имеем некий источник, породивший волны, энергия которых не достигла поверхности или дошла до нее в ничтожно малых количествах, практически рассеявшись в сплошной среде.
Это может быть очень слабый источник, расположенный на малых глубинах — примеров много. Это также может быть достаточно мощный источник, который находится так глубоко, что расходящиеся от него волны не достигают поверхности. Например, даже волны сильного землетрясения на самом дне глубочайшей Марианской впадины вряд ли имеют шансы достичь поверхности океана.
В случае «В» противоположная ситуация — расходящиеся от источника волны не только достигают поверхности, но большая часть их энергии выплескивается за пределы океана. Почти вся энергия покидает океан и разрушает при этом непрерывную структуру поверхности. Такой процесс может вызвать сильное и мощное поверхностное волнение, описываемое каноническими волновыми уравнениями, но он не может сформировать классическое цунами.
источник колебаний
Остается рассмотреть только случай «С», который и является моделью, описывающей начальный этап формирования волны цунами.
Представим, что расходящиеся от источника сферические волны успешно достигают поверхности океана.
При этом не происходит ни чрезмерно больших потерь энергии на рассеивание, ни выплескивания большого количества энергии на поверхность и за пределы океана.
В данной модели значительная часть энергии сферически расходящихся волн достигает поверхности океана — то есть границы сплошной среды, в которой эти волны ранее распространялись свободно и равномерно. Более того, энергия сферических волн не теряется на ощутимые поверхностные разрушения и локальные процессы.
На данном моменте нужно остановиться подробнее, так как именно он является первым фазовым переходом и критическим моментом физического формирования волны цунами, которая далее будет совершать свое разрушительное шествие по океану.
В соответствии с законом сохранения энергии, при достижении поверхности океана энергия сферических волн никуда не девается и не исчезает, а только переходит из одного состояния в другое. В данном случае, она аккумулируется в соответствии с приведенной схемой.
Поднимающаяся вверх составляющая сферических волн достигает поверхности океана, формирует очень пологий горб и соответственно тормозиться, так как не может свободно продолжать свое движение далее.
На схеме указанная зона отмечена более темным цветом — она напоминает темный клин.
Последующие волны настигают первые волны и их схлопывают. Вместо гладких и непрерывных функций, описывающих последовательно идущие сферические волны,
у поверхности океана на пологом горбу возникает разрывная функция скачка — ударная волна. Ее производная — разрывная дельта-функция Дирака, терпящая бесконечный разрыв. На схеме «С» поверхность ударной волны обозначена жирной темно-серой кривой, которая находится около поверхности океана в закрашенном секторе.
Показанная на схеме ударная волна формирует очень пологий и невысокий холм на поверхности океана и оказалась носителем почти всей энергии, которая прошла через закрашенный на схеме клин. Более того, вся эта колоссальная энергия оказалась сконцентрирована в очень узкой приповерхностной зоне океана и описывается разрывной функцией состояния.
В частности, на приведенной автором гипотетической схеме момента (формирования цунами приблизительно 30% всей энергии, выброшенной в океан и равномерно распространившейся от источника в виде сферических волн, было затрачено собственно на формирование ударной волны и холма цунами на поверхности океана.
На сегодня существуют самые разные гипотезы, описывающие поведение молекул воды и воздуха вблизи ударной волны. Автор оставляет этот вопрос физикам-теоретикам, экспериментаторам и ученым-океанологам, сконцентрировавшись исключительно на проблемах построения математической модели и описания поведения целевых функций этой модели.
