Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Интересный анализ решений Шварцшильда и Норд-стрема был произведен в работах Финкельштейна [34], Фронсдэла [35], Крускала [36, 14], Брилла и Грейвса [37] и продолжен И. Новиковым [36а] и Ю. Рыловым с целью выяснения характера сингулярностей метрики при значениях гу равных нулю и гравитационному радиусу (в случае решения Шварцшильда), и соответствующих сингулярностей в случае заряженной частицы. Вводя новую координату времени (см. [5]), Финкельштейн показывает, что его метрика в противоположность метрике Шварцшильда может быть аналитически продолжена внутрь области, ограниченной гравитационным радиусом, хотя на границе^ меняет знак. Любопытной особенностью новой метрики является наличие члена типа —(2Ir)dxdr, указывающего на асимметрию по отношению к прошедшему и будущему.
Анализ «псевдосингулярности» решения Шварцшильда при г=гд показал, что в этой точке все инвариантные величины не имеют особенностей, так же как уравнения геодезических, которые сингулярны лишь при г= 0. Для анализа проблемы Фронсдэл применяет вложение шварцшидьдова Вступительная, статья
13
многообразия в плоское шестимерное пространство, которое исследовал впервые Каснер [38]. Оказывается, что, рассматривая всю область 0 < г < оо , т. е. дополняя метрику Шварцшильда, мы приходим к нестационарному гравитационному полю в любой глобальной системе координат, которое, однако, может быть сделано, как обычно, стационарным при г > Ic любой степенью точности.
Аналогичные важные выводы имеют место также для метрики Нордстрема [37]. Вводя новые координаты и и V9 переписываем эту метрику в виде (Крускал—-Бриль)
ds2 = /2 (- dv2 + du2) + г2 (de2 + sin2 Є Жр2), (10)
Метрика Крускала является регулярной в начальный момент времени, но остается регулярной только для конечного собственного времени. Относительно возможности проникновения из внешней области во внутреннюю см. [14].
Эйнштейн и Розен [39] ввели новую координату q из условия
что дает характерную двузначность, топологическая трактовка которой развивались Уилером. Следует отметить, что решение Шварцшильда по существу получено не для пустого пространства, а для- случая сингулярной точечной массы; это можно усмотреть из предельного ньютоновского случая, удовлетворяющего уравнению Пуассона с правой частью в виде б-функции.
Различные новые решения были получены А. 3. Петровым в связи с его теорией трех типов метрик (см. § 6).
Группу точных решений уравнений Эйнштейна отыскал Харрисон [40], который, руководствуясь некоторыми ана-
где 14
Вступительная, статья 14
логиями с гидродинамикой, полагал ^jav в виде «связанных пар»:
^yAKA Xі) ВЦА X*).
Таким путем удалось отыскать 30 решений уравнений Эйнштейна, ряд которых в предельных «вырожденных» случаях переходит в решения Шварцшильда и других.
Хотя некоторые решения Харрисона, по-видимому, могут быть интерпретированы, например, как волны, распространяющиеся в противоположных направлениях, и т. д., однако физический анализ полученных метрик еще далеко не закончен.
Уилер с сотрудниками (см., например, [14]) отыскал приближенные решения, соответствующие «геонам», а также пространствам, обладающим разнообразными топологическими особенностями (см. § 9).
§ 3. Энергия гравитационного поля
Вопрос об энергии гравитационного поля не является тривиальным, так как, с одной стороны, потенциалы ^v геометризованы и гравитационное поле может быть в данной точке устранено преобразованием координат, а с другой, по всей видимости, должно иметь место излучение гравитационных волн, несущих энергию при движении обычной материи, обладающей квадрупольным моментом распределения масс (или даже имеющих источником само поле тяготения). Тем самым вопросы отыскания тензора плотности энергии-импульса-натяжений (для краткости будем называть его просто «тензор энергии»), членов затухания в уравнениях движения тел и проблема гравитационных волн, примыкающая к вопросу о решениях уравнений гравитации, тесно связаны друг с другом. Однако для ясности разобьем этот комплекс вопросов на три параграфа.
Вокруг определения энергии гравитационного поля ведется многолетняя дискуссия, к первому периоду которой относятся работы Эйнштейна, Лоренца, Леви-Чивиты, Шредингера. В самые последние годы вопрос возник вновь и его с новых точек зрения рассмотрели Мёллер (статьи 1 и 2 Вступительная, статья
15
настоящего сборника; см. также [41—43]), Н. В. Мицкевич [44, 45], Комар [46], Гольдберг [47], Флетчер [48], Дирак (статья 3 и 4 настоящего сборника; см. также [49, 50, 25]), Арновитт, Дезер и Мизнер [51—54], Бергман [55], Бель [56], Робинсон [57] и другие [58—65].
Однако до сих пор вопрос нельзя считать в какой-то мере решенным. Как известно, с помощью того или иного лагранжиана на основе теоремы Нетер можно образовать либо канонический, вообще говоря, несимметричный тензор энергии любого поля (электромагнитного, мезонного, спи-норного и т. д.), либо при помощи вариации по ^jblv (метод Гильберта) метрический, симметричный тензор энергии. Несимметричная часть соответствует наличию спиновых свойств данного поля, кроме случая скалярного или псевдоскалярного полей нулевого спина, когда оба тензора совпадают; однако в случае гравитации имеет место вырожденный случай, так как вариация по ^v совпадает с вариацией по волновым функциям поля, приводящим к уравнениям поля. Таким образом, полученный последним способом симметричный тензор Лоренца — Ф. Клейна — Леви-Чивиты и Сурьо [60] исчезает (также при учете обычной материи) и тривиальным образом удовлетворяет закону сохранения:
