Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Ввиду тождественного исчезновения указанного тензора подобный результат физически неприемлем. Другая форма величины типа тензора энергии была получена исходя из требования его симметрии [9]. Канонический сохраняющийся несимметричный псевдотензор энергии гравитационного поля /р, являющийся тензором относительно линейных преобразований и полученный Эйнштейном исходя из части лагранжиана L1, имеет вид (при учете обычной материи)
Ді/^(гГрав°+П) = о,
,a dL\ , «а = ~дв-Snv, ? - M?-
(И) 16
Вступительная, статья 16
Аналогичным путем, исходя, однако, из лагранжиана истинного скаляра R1 X. Мёллер и Н. В. Мицкевич получили для канонического квазитензора энергии гравитационного поля также сохраняющееся выражение, которому можно придать вид производной от суперпотенциала, антисимметричного по двум индексам:
^ (М.-М.) = T^ (Эйншт.) + ^ = ^ X^. (12)
Поскольку полный симметричный тензор материи и гравитации обращается в нуль и равен сумме канонической и спиновой (Uo) частей
гра (симм.) .а (полн.) , ,а(полн.) /іо\
7? =f? -f-U? , (M)
то в случае чистой гравитации получим равенство спиновой части энергии (с обратным знаком) и канонического квазитензора энергии.
Эйнштейновское выражение страдает существенным недостатком, подчеркнутым Шредингером, а также Бауэром, поскольку оно приводит к значению полной энергии, зависящему от преобразования чисто пространственных координат. Недавно Мёллер вновь подчеркнул это обстоятельство и предложил видоизменить псевдотензор Эйнштейна. Однако квазитензор Мёллера — Мицкевича, устраняющий указанную трудность, не дает правильного выражения 4-вектора для замкнутой системы [42]. Нетрудно указать законы преобразования различных квазитензоров (Мёллер — Мицкевич) (М%х — плотность спина, т. е. момента 1-го порядка), например,
,V ,TtdxvS дх'° /а д2ха м'ах д*х'0 дг'атрЛ
(14)
Анализируя проблему определения массы при помощи метрики Шварцшильда, Флетчер [48] предложил для суперпотенциала следующее выражение:
л™ = (- g)W/2 [oq (ghx Її*. - j* rft\) -
- Г" С - (g* Tlx - gvft Г*,) + И*]. (J 5) Вступительная, статья
17
В частности, при W=I получим псевдотензор Эйнштейна (см. [63]) (относительно случая W = 2 см. [13]).
Дирак, Арновитт, Дезер и Мизнер и другие стремятся тем или иным методом придать общей теории относительности каноническую форму, выделяя время и производя (3+ 1)-разбиение теории. Это позволяет подойти новым способом к вопросу об энергии и импульсе, а также подготовить почву для квантования (см. Дирак —статьи 3 и 4 настоящего сборника —и Бергман и Комар —статья 14 настоящего сборника). В частности, Арновитт, Дезер и Мизнер, выделяя производные по времени, записывают сначала лагранжиан в виде
L = ( _ 4g)V. e 3gV2 [ _ giJ до Ki, _ доК +N{*R + Kt_
-Kij + K2-KijKii)-2V (Ki-Wh-2 (N4^iKij)uI (16)
где N = (- g00r1/a, ^ = got, Kv = Ші, K^gijKij и вертикальной черточкой обозначено ковариантное, а запятой—обычное дифференцирование по трем пространственным координатам; затем в качестве канонических переменных вводятся две независимые компоненты giJT) и 7tlj(TT) поперечных (точнее, трансверсально-трансверсальных) бесшпуровых частей потенциала gxj и моментов
я" = ( _ (Hw - gmn T0pq у™) yim у>п
при определенных координатных условиях. Тогда действие при учете уравнений связи записывается в виде
где форма лагранжиана аналогична случаю механики
L = p'q-H.
При этом плотность гамильтониана H = — g^Jl и импульса Ti= — 2л" позволяют получить выражения полной энергии и импульса (^fcn = Ui-^fij, и) :
E= - ^gJud3X= - ^gVdSi,
2 Заказ No 738 18
Вступительная, статья 18
совпадающие с интегральными значениями, полученными на основе псевдотензора Эйнштейна, недавнего выражения Дирака, а также симметричного псевдотензора [13]. Теория легко обобщается на случай наличия источников, и в швардшильдовском случае получается правильное значение энергии E = тс2. Возбуждение гравитационных волн будет соответствовать неисчезающим значениям трансвер-сально-трансверсальных величин. Хотя в классической формулировке непосредственно получаются скобки Пуассона между каноническими переменными, переход к квантовым коммутаторам не так прост, в частности, ввиду необходимости упорядочения множителей в нелинейных выражениях и необходимости учета уравнений связи, в данном случае для величин g0|A, не входящих в каноническую схему.
Баргманн и Дирак в своей канонической трактовке, не выделяя трансверсальных частей, полагают
71 ' ^L
u&a?, О
Дирак предлагает модифицированное выражение плотности энергии, не зависящее от g^o, благодаря чему энергия в меньшей степени зависит от выбора системы координат [25].
Отметим новый подход, связанный с «хронометрическими» инвариантами А. Л. Зельманова [64]. Разобьем все допустимые преобразования на трансформации от одной движущейся системы отсчета к другой (преобразования Лоренца и другие более общие) и трансформации при выбранной системе. Последние сводятся к произвольным трехмерным преобразованиям координат xl/ = fl (xL, X2t х3) и произвольным трансформациям временной координаты х^ =F (X1t X2t X3t л:4). Относительно координатных преобразований физические величины должны быть трехмерно ковариантны, а относительно временных — «хронометрически» инвариантны. Вводятся понятия хронометрически инвариантного чисто пространственного тензора, длины, хронометрически инвариантного дифференцирования и т. д. Этот формализм был развит специально для теории анизо-іропной неоднородной Вселенной (см. § 8). Ёступительная статья
