Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
За доказательством отсутствия других инвариантов отсылаем читателя к работам Вейля и Картана [26]; для получения уравнений поля в качестве лагранжиана вместо члена Z2 в L можно взять выражение Lv отличающееся от Z2 членом четырехмерной дивергенции:
Z2 = L1H-DivQ. (6)
Как видно, лагранжиан содержит степень g^v выше второй, что приводит к нелинейным уравнениям. Нет оснований брать инвариант типа R2 и другие1), приводя-
1J Инварианты типа R2 недавно рассмотрел Стефенсон [25, 27], показавший, вслед за Эддингтоном, что все три эйнштейновских эффекта общей теории относительности (см. § 7) вытекают также из -более общей теории. 10
Вступительная, статья 10
щие к нелинейным членам Еысшего порядка. Наличие нелинейности в уравнениях гравитационного поля означает, наглядно говоря, порождение гравитационного поля самим полем, а не только обычной материей, или взаимодействие поля с самим собой.
Далее, образуя функцию действия
W=^LV=JjdtX, (7)
получаем путем вариации последней по ^v знаменитые уравнения Эйнштейна как уравнения Лагранжа — Эйлера данной вариационной задачи:
RJiv —2 Bvv R — Agjjtv — — ^T1Jivi (8)
здесь Tllv—тензор энергии-импульса обычной материи в гравитационном поле. С геометрической точки зрения Rliv и R представляют собой свертки тензора Римана /??Yo, определяющего коренные характеристики искривленного пространства-времени. В уравнении (8) чаще всего полагают A = O (см. § 8), если нет особых оговорок.
Полагая
ftiv = gjiv + A|iv. (9)
где — метрический тензор плоского мира Минковского (+1, —1, —1, —1), a Aptv—малые величины, получаем в случае слабого поля в линейном приближении для Iillv волновые уравнения, с помощью которых Эйнштейн впервые исследовал излучение гравитационных волн. В статическом случае слабого поля тяготения, порожденного покоящейся массой, получим в пределе уравнения Лапласа — Пуассона для главной компоненты Л44=2ф^/с2. Задавая различные распределения обычной материи или ограничиваясь одним гравитационным полем, при тех или иных граничных условиях, выбирая те или иные дополнительные координатные условия и подвергая в дальнейшем квантованию поле гравитации (наряду с другими полями), мы в принципе можем решить любую задачу порождения или рассеяния гравитационного поля, а также любую задачу о взаимодействии и движении отдельных тел, распределен- Вступительная, статья
11
ной материи или элементарных частиц в гравитационном поле. При этом имеется в виду, что в случае нелинейной теории гравитации в противоположность случаю электродинамики и других линейных теорий не нужно отдельно задавать уравнения движения тел в гравитационном поле, так как последние выводятся из самих уравнений поля (см. § 4).
Основное решение уравнений Эйнштейна, соответствующее создаваемому точечной массой т гравитационному полю (или искривлению метрики), было получено К. Шварц-шильдом (1916 г.) (анализ решений уравнений поля дается в § 2). Из этого решения, обобщающего закон тяготения Ньютона, вытекают все три эффекта эйнштейновской теории гравитации, которых мы коснемся в § 7 наряду с новыми предсказаниями.
Вопрос о плотности энергии гравитационного поля, вызвавший большую дискуссию, специально рассматривается в § 3; проблема гравитационного излучения обсуждается в § 5; алгебраическому анализу уравнений Эйнштейна, помогающему отысканию новых решений, посвящен § 6.
В настоящем обзоре мы не касаемся вопросов релятивистской гидродинамики, связи гравитации с эволюцией звезд и многих других более специальных проблем. Однако для полноты обзора мы кратко резюмируем положение вещей в области космологии, современному развитию которой был дан толчок в работе Эйнштейна, введшего космологический член (1917 г.), и которая приобрела затем в основном общепризнанную современную формулировку в работах А. А. Фридмана (1922—1924 гг.), открывшего возможность нестационарной геометрической структуры Вселенной, в частности расширение Вселенной (см. § 8).
В § 9 мы кратко остановимся на различных (в том числе новейших) попытках построения единой геометризованной теории поля, естественно возникшей на арене физики после успеха геометризации гравитации. Вопрос о включении гравитационного поля в систему других полей и частиц, а также проблема структуры частиц и их трансмутаций и т. д. с необходимостью приводят нас к построению квантовой теории тяготения, далеко еще незаконченной; эти вопросы мы попытаемся резюмировать в §§ 10 и 11. 12
Вступительная, статья 12
В ряде случаев мы более подробно останавливались на относительно менее значительных вопросах, учитывая состояние литературы. Мы надеемся, что настоящий сборник вместе с данной вступительной статьей и списком литературы по рассматриваемым вопросам поможет читателю, знакомому с основами общей теории относительности, продолжить как теоретические и экспериментальные исследования, так и дальнейшее ознакомление с обширной литературой в данной области.
§ 2. Решения уравнений Эйнштейна
Переходя к решениям уравнений гравитации следует отметить, что в последнее время внимание в основном было сосредоточено, во-первых, на анализе «псевдосингуляр-ностей» (по терминологии принстонской школы) на гравитационном радиусе, во-вторых, на отыскании новых точных решений, например реализующих метрики Петрова типа II, решений типа «связанных пар» и т. д., и на приближенных решениях типа «геонов»; продолжалось отыскание новых космологических решений (см. § 8).
