Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Де Витт и Бреме [92] показывают, что в согласии с ожиданиями на основании принципа эквивалентности заряженная частица при движении в гравитационном поле излучает электромагнитные волны, что описывается ковариантным обобщением дираковского уравнения для точечного электрона.
§ 5. Гравитационные волны. Проблема Коши
Возможность излучения гравитационных волн, несущих энергию, импульс, вращательный момент и отрывающихся от источников, была предсказана Эйнштейном на основе линеаризованной трактовки, апроксимировавшей сложную нелинейную систему уравнений. В дальнейшем этот вопрос неоднократно обсуждался; при этом трудности связаны, с одной стороны, с отысканием точных решений системы 22
Вступительная статья
нелинейных уравнений и, с другой — с отсутствием общепризнанного выражения энергии гравитационного поля.
Полные выкладки, относящиеся к потере гравитационной энергии вращающимся стержнем, приведены в книге Эддингтона [5]; В. А. Фок [25] привел простой вывод гравитационного излучения, применяя гармонические координаты. Фундаментальный результат для потери энергии можно записать в виде (приближение слабого поля):
является квадрупольным моментом распределения масс. В прежних работах речь шла о тензоре инерции, связанном линейно с Qtt?. Суть дела легко пояснить по аналогии с излучением электромагнитного поля зарядами, заметив, что в случае гравитации дипольный момент отсутствует благодаря совпадению отношения заряда к массе для всех тел, поскольку роль заряда играет У^кт.
Таким образом, надо учитывать квадрупольное излучение. Это согласуется со значением S=2 спина элементарной гравитационной волны или гравитона, что в свою очередь согласуется с числом независимых компонент поля.
Вопрос о скорости распространения гравитационного поля, тесно связанный с проблемой излучения волн, служит предметом многих исследований вплоть до последнего времени. На основе общей теории Адамара было выяснено, что характеристики уравнений Эйнштейна, определяемые членами с высшими производными, по существу совпадают с характеристиками волнового уравнения Даламбера. Этот результат наиболее просто получается при использовании гармонических координат. Отсюда вытекает фундаментальный результат, что фронт гравитационной волны распространяется со скоростью света,
К этому вопросу примыкает трактовка проблемы Коши для гравитационных уравнений, которой занимались специально Лишнеровиц и Фурес-Брюа [9, 93, 94], Б. Финци (статья 8 настоящего сборника), Ф. И. Франкль [95].
Qa? = ^ Q (Зле - 6a?4) d3x
dE
X
(17)
где Вступительная, статья
23
Вопреки некоторым сомнениям выяснилось, что проблема Коши для гравитационного поля может быть сформулирована вполне корректно как в случае чистой гравитации, так и в случае наличия вещества. Если в некоторой области пространственно-подобной гиперповерхности заданы гравитационные потенциалы и их первые производные по времени, а также параметры, характеризующие обычную материю, то все искомые величины могут быть определены как в прошлом, так и в будущем в любых точках пространства-времени.
А. 3. Петров рассмотрел проблему Коши по методу Лишнеровица для каждого из трех возможных типов полей тяготения (см. § 6).
Согласно Лишнеровицу и Фурес-Брюа задачу решения уравнений Эйнштейна удобно разбить на два этапа: 1) отыскание возможных значений метрики на начальной про-странственно-подобной поверхности и 2) отыскание распространения этой метрики (проблема Коши — Ковалевской). Из уравнений Эйнштейна четыре уравнения (компоненты \і0) дают условия в начальный момент, и всякое их решение может быть продолжено посредством остальных уравнений.
Из новейших работ, посвященных излучению гравитационных волн, обратим внимание на статью Вебера и Уилера (статья 10 настоящего сборника), в которой показана реальность цилиндрических или «тороидальных» гравитационных волн, исследованных впервые Эйнштейном и Розе-ном (вопреки скептической позиции Розена).
Ф. Пирани в статье, послужившей поводом довольно широкой дискуссии (статья 9 настоящего сборника) предложил связать излучение волн только с метриками Петрова типа II и III. Однако А. 3. Петров и Б. Т. Вавилов отыскали волновое решение и в случае метрики типа I.
Пример гравитационных волн, несущих энергию, приводит Брилл [97, 98], рассмотревший лишенные сингуляр-ностей свободные цилиндрические аксиально-симметричные и симметричные по времени волны, ограниченные в пространстве так, что асимптотически метрика является шварц-шильдовой. Обобщая работу Вебера—Уилера и приближенный расчет Бонди, Бриль, не пользуясь приближениями, показывает, что подобная волна имеет положительную энергию. Подчеркивается реальность гравитационных вслн 24
Вступительная статья
вне зависимости от источника. Аксиальная метрика записывается в виде Вейля — Бонди:
причем всюду; при р=0 и <7=0 при
р=0. При больших г метрика, согласно Бриллу, должна иметь вид
где k=K\i/c2. При этом цилиндрическая волна рассматривается как предельный случай тороидальной. Существенную роль играет задание симметричных по времени начальных значений в виде 3/?=0 (трехмерное пространство).
