Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
с начальным условием х(0) = Хо.
Укажем две возможности выбрать функцию Н:
Н(т, x) = f(x) + (T- l)f(x0) (5.1.15)
и
Н (т, х) = (1 - т)(х - х0) -f Tf (х). (5.1.16)
Представление (5.1.15) тесно связано с методом Ньютона. (Чтобы убедиться
в этом, нужно, взяв Н в виде (5.1.15), решить дифференциальное уравнение
(5.1.14) методом Эйлера с шагом А = 1.) Более подробный анализ различных
вариантов метода введения искусственного параметра читатель может найти в
книгах [5.1, 5.3]. Описание некоторых других подходов и их связь с
итерационными методами рассмотрены в работе [5.4].
5.2. ЗАВИСИМОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИИ ОТ ПАРАМЕТРА -ДИАГРАММА РЕШЕНИИ
В предыдущем параграфе было показано, как находить стационарные решения
системы (5.1.1) при фиксированных значениях параметров. Если мы хотим
изучить поведение динамической модели в целом, то обычно оказывается
недостаточно знать ее характеристики только при одном конкретном значении
того или иного параметра - нужно иметь представление о характере
поведения модели в зависимости от значений параметров, изменяющихся в
некотором диапазоне.
5.2. Зависимость стационарных решений от параметра
135
В этом параграфе мы займемся построением зависимости стационарных решений
от одного (скалярного) параметра а, входящего в систему (5.1.3).
Найденные зависимости, представленные в виде соответствующих графиков, мы
будем называть диаграммой решений (см. гл. 3, § 3.1).
Простейший метод построения диаграммы заключается в последовательном
использовании итерационной процедуры, описанной в § 5.1. Так, например,
выберем в интервале изменения значений параметра а узловые точки а0 < а1
< ... <а* и применим последовательно метод Ньютона для указанных значений
а. В качестве начального приближения для нашего итерационного процесса
при а = а' мы будем выбирать решение х, найденное при а = а'-1, т. е.
х(а'-1). Если сетка значений параметра а достаточно густа и на полученных
зависимостях отсутствуют точки бифуркации, то для обеспечения сходимости
метода Ньютона при каждом значении а оказывается достаточным од-ной-двух
итераций. Указанная методика не позволяет, однако, переходить через точки
поворота на диаграмме решений (см. § 3.1), а в окрестности точек
ветвления процесс может даже расходиться. Поскольку метод
последовательных шагов не является универсальным, были развиты методики,
с помощью которых построение зависимости решения от параметра в целом
происходит более или менее автоматически. Основные принципы этих методик
будут рассмотрены в последующих пунктах.
5.2.1. Отображение параметра
Во многих случаях оказывается возможным использовать некоторые
специальные свойства системы (5.1.3), которые позволяют разработать тот
или иной неитерационный алгоритм (или же, при необходимости,
итерационный, но в пространстве существенно меньшей размерности).
Рассмотрим, например,случай, когда система (5.1.3) нелинейна лишь по
одной переменной хк и линейна по всем другим переменным, а также по
параметру а. Тогда для построения диаграммы решений мы можем использовать
следующий подход. Выберем последовательность значений переменной хк
(достаточно близких друг к другу). Для каждого выбранного значения
переменной хк решим систему линейных алгебраических уравнений (5.1.3)
относительно неизвестных х1г х%, ..., хк-\, xk+\, ..., хп, а (например,
методом исключения Гаусса) - в результате мы получим одну из точек
диаграммы решений. Существуют и другие возможности отображения параметра,
когда, например, мы пользуемся тем, что умеем решать квадратное
уравнение, можем построить соответствующую обратную функцию и т. д.
Используемый при этом
136
Глава 5
подход всегда зависит от конкретного вида уравнении, и мы
продемонстрируем указанную методику на нескольких примерах.
Рассмотрим задачу 1 (см. гл. 4, п. 4.2.1). Стационарное состояние в
данном случае описывается уравнениями
-Лх + Da (1 - х) ехр ( t +в0/у) = 0, (5.2.1)
-Л0 + В Da (1 - х) ехр (-р^) - Р (в - вс) = 0, (5.2.2)
где х и 0 - переменные состояния. Умножая уравнение (5.2.1) на параметр В
и вычитая полученный результат из уравнения
(5.2.2), после простых преобразований мы получаем соотношение
* = ¦§-+ Иевл0с) ¦ (5-2-3>
которое позволяет свести систему двух уравнений (5.2.1) и
(5.2.2) к одному нелинейному уравнению для переменной 0:
-A0 + Da(?-0- Р<0-0">) ехр(-г^-)-р(0 + 0с) = О.
(5.2.4)
Уравнение (5.2.4) зависит от переменной 0 нелинейно, тогда как параметры
Da В, |3 и 0С входят в него линейным образом. Параметр Л (после умножения
обеих частей уравнения на Л) входит в полученное уравнение квадратичным
образом, а параметр у - нелинейно. Для нахождения зависимости решения от
параметра Da (при фиксированных значениях остальных параметров) можно
использовать следующую процедуру:
1. Выбираем значение 0(0 > 0С)..
2. Из уравнения (5.2.4) подсчитываем значение параметра Da.
3. Из уравнения (5.2.3) находим значение другой переменной состояния х.
Пример одного из вариантов расчета представлен в табл. 5.3. Читатель
