Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 670

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 664 665 666 667 668 669 < 670 > 671 672 673 674 675 676 .. 742 >> Следующая

х(/), для которых |[х(?) ||-"-оо при t-> оо (и сколь угодно малых х(0)).
Эти утверждения справедливы и для случая кратных собственных чисел. При
этом в квадратных скобках в разложении (5.3.2) появляются многочлены от
t, •однако, как известно, экспоненциальная функция убывает (или
возрастает) быстрее, чем многочлен любого порядка.
5.3.2. Характеристический многочлен
Собственные числа матрицы А являются корнями характеристического
многочлена
Р (А,) = (- 1)" det (А - М) = Хп + а{кп~1 + ...
... + ап_{к -|- ап. (5.3.5)
Для п = 2 или 3 мы можем получить характеристический многочлен прямо из
определения детерминанта. Для больших же значений п этот процесс
оказывается очень трудоемким и неудобным даже при использовании ЭВМ.
Существует целый ряд методов для вычисления коэффициентов
характеристического многочлена (см., например, ра-
5.3. Исследование устойчивости стационарных решений
15Г
боты [5.6, 5.7, 5.8]). Ниже мы рассмотрим только два из них, наиболее
простые с вычислительной точки зрения - это метод Крылова и метод
интерполяции.
Метод Крылова основывается на тождестве Гамильтона - Кэли
Р(А) = А" + а1А"-,+ ... + а^А + ап\ = 0. (5.3.6)
Умножим тождество (5.3.6) на некоторый вектор h°; в результате мы получим
соотношение
atf-1 + ф"-2 + апф[ + anh° = -h", (5.3.7)
где через Ьк обозначены произведения hk = Afeh°. Эти векторы могут быть
вычислены рекуррентно:
hfe+1 = Ah\ k = 0, 1, ..., п - 1. (5.3.8)
Соотношение (5.3.7) представляет собой систему п линейных алгебраических
уравнений относительно п неизвестных а\, ап. Мы можем ее решить,
например, методом исключения Гаусса. Если матрица системы (5.3.7)
окажется вырожденной, что представляется маловероятным, то необходимо
выбрать другой вектор h°.191
Метод интерполяции основан на том факте, что два многочлена степени п,
значения которых совпадают в п + 1 различных точках, тождественно равны
друг другу. Выберем п + 1 различных вещественных чисел so, si, ..., sn и
вычислим значение P(Si):
Р (si) = (-1)" det (А - 5*1). (5.3.9)
Отметим, что в формулу (5.3.9) входит определитель числовой матрицы (s*-
заданное число), и для его вычисления можно использовать программное
обеспечение, основанное на методе исключения Гаусса. Построив по точкам
(sh P(s*)), i - 0, ..., п, интерполяционный многочлен Лагранжа, мы
получим выражение для характеристического многочлена Р (7,).
Для построения характеристического многочлена можно воспользоваться также
методом неопределенных коэффициентов, записав (5.3.9) в виде системы
линейных алгебраических уравнений для коэффициентов ао, аь ... , ап'
#oSo "Ь ai5o 1 ~Ь ci2% -f- ... -f- an~iSo ~Ь ап = Р (s0),
floSi + ais'i 1 -f- a<iS\ 2+ ... -f- an-\S\ + ctn = P (si), (5 3 Ю)
CloSn + alsre 1 + a2 Sra 2 *E ••• + an-1 + On = P (sn).
152
Глава 5
Коэффициент ао должен равняться единице (см. (5.3.5)). Поэтому отклонение
а о от единицы можно рассматривать в качестве меры погрешностей
(округления), возникающих в процессе вычислений. (Можно включить
равенство ао = 1 в алгоритм вычислений и вычислять определитель (5.3.9)
только п раз.) 1101
5.3.3. Критерий Рауса - Гурвица
Для выяснения вопроса о том, все ли корни характеристического многочлена
Р(Х) имеют отрицательные вещественные части, можно воспользоваться
критерием Рауса - Гурвица
[5.8]. Обозначим D\ = ах и
Dk - det
а, <h а5 • (hk-1
1 <h а4 .
0 ai <h ¦ <hk- з
0 1 Ch ¦ (hk-i
• • • 0 0 . • • • • ak _
(5.3.11)
щля k - 2, 3.......... п (если / > п, то считается, что а, = 0).
Если теперь для всех k выполнены неравенства
Dk> О, А =1,2,...,", (5.3.12)
то все корни многочлена Р(к) имеют отрицательную веще-
ственную часть.
Отметим, что определители Di представляют собой многочлены от
коэффициентов Р(Х) и, следовательно, являются многочленами относительно
элементов матрицы А. При небольших значениях п эти многочлены можно
выписать в явном виде.
5.3.4. Нахождение собственных чисел матрицы
Часто оказывается необходимым знать все собственные числа матрицы А, а
стало быть, и все (в том числе комплексные) корни характеристического
многочлена. Вещественные корни можно найти, например, с помощью метода
Ньютона
Я,№+1) = Я,"*>-^^, А> = 0, 1......... (5.3.13)
задаваясь при этом подходящим образом выбранными начальными приближениями
Если мы таким способом найдем нее п вещественных корней, то задача
решена. Если у нас по-
5.3. Исследование устойчивости стационарных решений
153-
лучится п-1 вещественных корней, то оставшийся корень, также должен быть
вещественным. Если найдены п - 2 вещественных корней Л-i, к2 кп-2, то
можно разделить многочлен Р (к) на произведение корневых сомножителей
вида (Л - к\) (Л - к2) ¦¦¦ - кп-2), после чего квадратное уравне-
ние даст нам оставшиеся два корня. Если, наконец, число вещественных
корней оказывается меньше, чем п - 2, то после деления на соответствующее
произведение корневых сомножителей мы получаем многочлен более высокого
порядка, чем 2,. решение которого уже нельзя построить в явном виде.
Предыдущая << 1 .. 664 665 666 667 668 669 < 670 > 671 672 673 674 675 676 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed