Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
следующие безразмерные переменные и параметры:
г = IjL, t = %v/Lep, у= 1 - с/с0, 0 = Т^° • ,
vL vp,C",L Е
Рем = Д7 ' Рен== Ге ' y==~RT\'
В = У ^ ¦ Da = ---v вр^ kx exp (-у), (P14-6>
T. epPfcPf + (1-eP)PscPs *UL
Pfcpfep ' dt>PfCpf
@ _ Tc - T0 _ E Uc Г0 7?Г0 •
Здесь у обозначает конверсию, (c) - безразмерную температуру,, г -
безразмерную координату, t - безразмерное время, Рем, Рен - числа Пекле
для массы и тепла, у - безразмерную энергию активации, В - безразмерное
адиабатическое повышение температуры, Da - число Дамкёлера, р-
безразмерный коэффициент теплопередачи, (c)с - безразмерную температуру
охлаждающей среды и Le - число Льюиса.
В переменных (Р14-6) мы получаем систему уравнений
аг=р^^~^ + m{l~y)expTT@N' (р14'7>
(Р14-8)*
118
Глава 4
с граничными условиями
2 = 0: Рему Рен 9 = -§§•,
(Р14-9)
(Р14-10)
Данная задача имеет восемь параметров: Рем, Рен, у, В, Da, р, вс и Le.
Заметим, что уравнения (Р14-7), (Р14-8) отличаются от уравнений (4.3.7),
описывающих систему типа "реакция- диффузия", конвективными слагаемыми, а
именно слагаемыми dy/dz и dQ/dz. При этом граничные условия (Р14-9)
принадлежат к типу ГУЗ, а условия (Р14-10) - к типу ГУ2.
Если аксиальное перемешивание осуществляется в слабой "степени
(эффективные диффузия и теплопроводность очень ¦малы, Рен->оо, Рем-^-оо),
то вместо уравнений (Р14-7), ¦(Р14-8) мы получаем гиперболические
уравнения первого порядка, которые описывают трубчатый реактор идеального
вытеснения:
Le -§• + Ж = в Da ^ - ^ехР TfW - Р (0 - 0->- <Р14'12>
При этом условия (Р14-9) и (Р14-10) заменяются условиями
•Соотношения (Р14-11) - (Р14-13) используются иногда для нахождения
приближенного решения исходной задачи при больших значениях Рен, Рем-
4.3.3. Задача 15. Трубчатый неадиабатический реактор с аксиальным
перемешиванием (двухфазная модель)
В случаях, когда температура и концентрация в объеме жидкости и на
поверхности частиц катализатора резко отличаются, приходится
рассматривать двухфазную модель. В этой модели, кроме переменных Тис,
характеризующих жидкость, вводятся температура поверхности катализатора
Т* и концентрация на -его поверхности с*.
Здесь мы рассмотрим вариант этой модели, предложенный Лью и Амундсоном
[4.50]. Помимо предположений, введенных при описании задачи 14, будем
считать, что реакция протекает "на поверхности катализатора. При
составлении соответствующих уравнений баланса мы будем учитывать
конвективный пере-
(Р14-11)
2 = 0: у - 0, 0 = 0.
(Р14-13)
4.3. Задачи с распределенными параметрами
119
нос, межфазовый тепло- и массообмен, теплоотдачу стенок реактора. Потоки
компонент реакции и поток тепла с внешней поверхности катализатора в
жидкую реакционную смесь будем описывать с помощью коэффициентов
массоотдачи и теплоотдачи, считая потоки пропорциональными разности
концентраций с* - с или разности температур Т* - Т. При этом мы не
учитываем перенос тепла и массы внутри частиц катализатора.. Площадь
внешней поверхности частиц катализатора, отнесенную к единице объема,
обозначим через а.
Если рассматривать реакцию первого порядка, то для случая стационарного
режима уравнения баланса вещества и энтальпии можно представить в форме
[4.51]
De^r-v^+kca{c'-c) = 0, (Р15-1>
k^-vCp^j- + ha (Г -Т)-^-(Т-Тс) = 0. (Р 15-2>
Уравнения баланса массы и энтальпии на внешней поверхности катализатора
принимают вид
kea(c* - с) + &теехр(- с* = 0, (Р15-3>
ha (Г - Т) - К ехр (- -~) с* (-ДЯГ) = 0. (Р15-4>
Граничные условия на входе и выходе задаются соотношениями (Р14-4) и
(Р14-5). Вводя безразмерные переменные по формулам (Р14-6) и, кроме того,
полагая
j k&ali j haL.'. Сп - с " г7 * ¦ Тп / г,, ^ и,
/м = ^Г-. /н = -^, = 0 = -(Р15-5>.
получим:
+ = <Р15'6>
-0--f-+M0-e)-l>(e-ec) = o, (Р15-7).
/м (to у) Da (1 - св) ехр { +9е^ = 0, (Р15-8)
7H(0-0)-SDa(l -(о)ехр-г^- = 0. (Р15-9>
Граничные условия в безразмерном виде задаются соотношениями (Р14-9) и
(Р14-10).
"20
Глава 4
Комбинируя (Р15-9) и (Р15-8), имеем
Н
(Р15-10)
Воспользовавшись (Р15-10), исключим из соотношения (Р15-8) величину 0:
Таким образом, задача описывается системой двух дифференциальных
уравнений (Р15-6) и (Р15-7) относительно неизвестных •функций у (г) и в
(г) (краевая задача) и одним нелинейным (алгебраическим) уравнением (Р15-
11) для определения величины со. Функция 0(z) при этом выражается через у
(г) и и по формуле (Р15-10). В общем случае данная задача имеет 9
параметров: Рем, Рен, Ль Ль В, Da, у, (3 и (c)с и представляет собой одну
из проблем, в которых речь идет о совместном решении системы
дифференциальных и алгебраических уравнений (см. также задачу (4.3.16)
для случая установившегося режима).
-4.3.4. Задача 16. Неизотермическая модель внутренней диффузии в частице
пористого катализатора
Большинство каталитических реакций протекает на пористых частицах
катализатора. Процессы тепло- и массообмена внутри пористой частицы и на
ее поверхности часто существенным образом влияют на результирующую
