Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 671

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 665 666 667 668 669 670 < 671 > 672 673 674 675 676 677 .. 742 >> Следующая

Существует целый ряд методов нахождения набора корней вещественного
многочлена. Одним из наиболее популярных среди них является метод Лина -
Бэрстоу. Здесь мы рассмотрим лишь основную идею этого метода.
Выделим из произведения корневых сомножителей многочлена Р(к) два
множителя, соответствующие либо двум вещественным, либо двум комплексно-
сопряженным корням Л,- и kk:.
р(л) = (я2- (к/ + kk)к + k,kk) и (к-К).
1фк
Коэффициенты (kj + kk) и kjkk при таком выборе будут вещественными.
Основная идея метода Лина - Бэрстоу состоит в последовательном нахождении
этих "квадратичных корневых множителей". Представим многочлен Р(к) в виде
р (к) = (к2 - ак - р) (А,""2 + Ъ,кп~г + • ¦ • + Ьп_2) + Ак + В,
(5.3.14>
где а и р - параметры, которые мы хотим подобрать так, чтобы А = В = 0.
Значения аир определяют с помощью итерационной процедуры методом Ньютона.
Самостоятельной проблемой при этом остается выбор начальных значений аир.
Предположим, что Р(к) имеет только простые корни, а именно, 2/е
комплексных и m вещественных
корней (2k -\-m - п). Тогда существует k + ( (tm) ) решений (а, Р)
для уравнений А = 0, В = 0. Таким образом, решений может оказаться
относительно много, и поэтому вполне вероятно, что метод Ньютона со
случайно выбранным начальным приближением аир будет сходиться.
Произвольное решение системы А (а, Р)= В(а,Р) = 0 позволяет понизить
степень многочлена на два. Однако при таком последовательном понижении
степени многочлена могут накапливаться погрешности (в частности,
неточности вычисления аир, погрешности округления
т
Глава 5
и т. п.), так что последние из найденных корней могут оказаться уже
недостаточно точными. Эти погрешности можно скорректировать, применяя,
например, метод Ньютона или метод Лина - Бэрстоу для исходного
многочлена.
Вычисление набора собственных чисел матрицы с помощью характеристического
многочлена оказывается эффективным при небольших п. При больших значениях
п, например при п > 20 (в зависимости от конкретной задачи), происходит
накопление погрешностей округления, и результаты могут оказаться очень
неточными, а часто вовсе неприемлемыми. Поэтому для вычисления всех
собственных чисел матрицы обычно используются прямые итерационные методы,
являющиеся стандартной составной частью программного обеспечения ЭВМ
(например, программы EISPACK, MATLAB и др.). В настоящее время чаще всего
используется Q^-алгоритм (см., например, [5.34]). Используя это
программное обеспечение, можно эффективно находить все собственные числа
матрицы с числом строк п, измеряемым десятками.
5.3.5. Нелинейные уравнения - исследование устойчивости в линейном
приближении
Обратимся вновь к нелинейной системе (5.1.1)
x't = fi(xi'--->xn>a)> i = U ¦¦¦, п. (5.3.15)
Будем исследовать поведение решения в окрестности стационарного состояния
х при заданном а. Введем вектор отклонений решения от х
6 - х - х. (5.3.16)
Исходное нелинейное уравнение в окрестности точки х аппроксимируем с
помощью формулы Тейлора, сохраняя члены до первого порядка включительно
('=d/dt):
x'i = К + б/ = ft (х- ") = fi (х + б> °) ~
- df- (*> °0
~ ft (х, а) + ^ llgx 6h i=l, 2, ..., п. (5.3.17)
/=i 1
Для стационарного решения х имеем Х; = 0, ft (х, а) = 0, и из разложения
(5.3.17) мы получаем
П df -
A, /=l>2' • п> аи=='дг(х'")• (5-3-18)
/-I 1
5.3. Исследование устойчивости стационарных решений
155.
Система (5.3.18) представляет собой линейную систему с постоянными
коэффициентами, для ее исследования можно воспользоваться результатами
предыдущих пунктов. Так, если все собственные числа матрицы А = [а,-,]
имеют отрицательные вещественные части, то 6->0 при t-^oо и, стало быть,
принимая во внимание формулу (5.3.16), х->х при Если
некоторые собственные числа матрицы А имеют положительные вещественные
части, то стационарное решение х не будет устойчивым. Если, наконец,
некоторые из собственных чисел имеют вещественные части, равные нулю, а
остальные ReJw<0, то линейное приближение не позволяет решить вопрос об
устойчивости стационарного решения.
Результаты, полученные с помощью указанного метода линеаризации, были
использованы для выделения областей устойчивости на диаграммах
стационарных решений, приведенных в § 5.2. Покажем, как подсчитываются
значения Aj и А2 в табл. 5.2. Дифференцируя по соответствующим переменным
правые части дифференциальных уравнений задачи 1, мы получаем (ср.
формулу (5.2.17))
-Л-Da Е, Da (1 - х) Е/(1 + 0/у)2
-Da BE, -Л + DaS(l - х) E/(l + 0/у)2- Р
где Д = ехр(0/(1 + 0/т)). Соответствующий характеристический многочлен
имеет вид
Р (А,) = к2 - (ац -f- а22) к -f- alla22 - (5.3.20)"
В соответствии с терминологией, принятой в теории динамических систем на
плоскости, будем называть стационарное решение (состояние равновесия)
узлом, седлом или фокусом в зависимости от значений собственных чисел А,ь
А,2:
седло: A,lt к2 вещественные, к{ • к2< 0;
узел: А,ь к2 вещественные, А,, • к2 > 0;
фокус: А,ь к2 комплексно-сопряженные (А,] = А,2).
Предыдущая << 1 .. 665 666 667 668 669 670 < 671 > 672 673 674 675 676 677 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed