Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 669

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 663 664 665 666 667 668 < 669 > 670 671 672 673 674 675 .. 742 >> Следующая

§ 5.1). Наконец, отметим, что описанный алгоритм не рассчитан на точное
нахождение бифуркационных точек в пространстве (х, а). Обнаружив такую
точку, ее координаты можно точно вычислить с помощью алгоритмов,
описанных в п. 5.4.1, и определить затем соответствующие начальные
значения для процесса продолжения на остальных ветвях решения (см. п.
5.4.2).
В последнее время был разработан целый ряд методов и алгоритмов,
связанных с процессом продолжения (см., например,
10 М. Холодниок и др.
146
Глава 5
работы [5.24], [5.25]), где большей частью используется практически тот
же подход, что и в алгоритме DERPAR.
Рис. 5.4. Схема алгоритма продолжения DERPAR.
Результат применения алгоритма продолжения DERPAR для задачи 2 [5.5]
представлен на рис. 5.5. При этом вся кривая целиком была построена путем
одного обращения к алгоритму. Отметим, что на диаграмме решений имеется 6
точек поворота и отсутствуют точки ветвления. Точка пересечения трех
ветвей на рисунке не является точкой бифуркации, по-
5.2. Зависимость стационарных решений от параметра
147
Рис. 5.5. Диаграмма стационарных решений задачи 2, у = 1000, В = 22, Pj =
(5 = 2, 0Ci == 0Сг = 0: А = 1, a=Dat = Da2; сплошные линии - устойчивые
решения, штриховые - неустойчивые решения.
10*
и 100
1 3 510 30 г
Рис. 5.6. Диаграммы стационарных решений некоторых задач из главы 4;
сплошные линии - устойчивые решения, штриховые линии - неустойчивые
решения, а) Задача 8, каскад из двух реакторов с однонаправленным
течением, уравнения (Р8-2а), (Р8-3а), (Р8-4), (Р8-5); А = 2, В = 4, D2 =
= КШь 6) Задача 4; у = 3, р = 1,5; v0 = 0,01. с) Задача 10; о = 16" 6 =
4. d) Задача 8; N = 2, уравнения (Р8-2)-(Р8-5); /4 = 2, 5 = 6, D2 = =
IQDi. е) Задача 8; N = 3, уравнения (Р8-7)-(Р8-12); А = 2, 5 = 6,. 1>2=
105,. f) Задача 8; N = 4, уравнения (Р8-7)-(Р8-10), (Р8-14) -(Р8-17), /4
= 2, 5 = 6, ?>2 = Ю?>1. g) Задача 2; у = 20, Л = 1, 0Ci = 0С2 = - 5, Pj =
Р2 = 1, 5 = 15, Da = Dat = Da2. h) Задача 1; у = 20; 5 = 9, 0С=О,
Da = 0,02. i) Задача 5; значения параметров см. в табл. 4.1.
5.3. Исследование устойчивости стационарных решений
149*
скольку значения трех других переменных состояния на каждой из ветвей
оказываются разными.
Построение диаграммы решений представляет собой важнейшую задачу анализа
нелинейной динамической системы15. Читателю, который хочет практически
освоить эту проблематику, мы советуем рассчитать несколько диаграмм
решений самостоятельно. На рис. 5.6 изображены 9 диаграмм решений для
различных задач, рассмотренных в гл. 4. Диаграммы решений, представленные
на рис. 5.6b, h, i, можно получить с помощью отображения соответствующего
параметра. Диаграмму на рис. 5.6с можно построить аналитически. Начальные
значения для продолжения решений на рис. 5.6d, е, f читатель найдет в
табл. 5.1 при Di = 0,4.
5.3. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ
В этом параграфе, который носит вспомогательный характер,, мы опишем
методику исследования устойчивости стационарных решений по линейному
приближению. Как известно, устойчивость решения зависит от собственных
чисел матрицы линеаризованной системы. Мы коротко рассмотрим методы
нахождения коэффициентов характеристического многочлена матрицы и
приведем критерий устойчивости Рауса - Гурвица. В дальнейшем мы
используем характеристический многочлен при нахождении бифуркационных
точек (§§ 5.4, 5.5, 5.8), а также для определения устойчивости
периодических решений (§ 5.8). Наконец, мы напомним о методе нахождения
собственных чисел матрицы непосредственно как корней характеристического
многочлена, что является более предпочтительным при небольших размерах
системы.
5.3.1. Линейные уравнения
Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
|г = Ах (5-3.1)
имеет (в случае невырожденной матрицы А) единственное стационарное
решение х = 0. Если у матрицы А нет кратных
о Во многих задачах нахождение стационарных решений есть лишь первый шаг,
основной же интерес представляют периодические (или еще более сложные)
решения. - Прим. ред.
150
Глава 5
собственных значений, то решение системы (5.3.1) можно представить в виде
х(0=ЕсЛ...](еКеЧ (5.3.2)
i=1
где в квадратных скобках стоит либо собственный вектор матрицы А,
соответствующий вещественному собственному числу Jw, либо ограниченная
векторная функция переменной t, если Я,- - мнимое число. Постоянные С,
определяются начальным условием х(0). Из разложения (5.3.2)
следует, что устойчивость
(в данном случае глобальная) стационарного решения системы
(5.3.1) определяется вещественными частями собственных чисел Xi. Если
для любого собственного числа матрицы А имеет место условие
Re^,<0, i- 1, ..., п, (5.3.3)
то нулевое стационарное решение является асимптотически
устойчивым; в частности, для всякого решения системы (5.3.1) выполняется
условие
lim || х (011 = 0. (5.3.4)
t-> ОО
Если какое-нибудь собственное число имеет положительную вещественную
часть, то нулевое решение, очевидно, неустойчиво: существуют решения
Предыдущая << 1 .. 663 664 665 666 667 668 < 669 > 670 671 672 673 674 675 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed