Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
легко получить.
Чтобы применить лемму 3.12 к нашей задаче, достаточно положить
w = я - z, ? - s", ф (т) = я0 (т -sj) + л:0 (s'2 - т). Переходя к пределу
при 7Woo в
Tn,_Lf JW*_(ImC>0)i
я J т Б -г
получим
и (?) = я - arg (? - sj) + arg (? - s^)
с условиями 0<arg(?-si)<:rt, 0<arg(?-s2). Мы получим следующее расширение
по переменным si , z"t
{(s", г") : Ims" > 0; arg (s" - s') - arg(s" - s') < Imz" < я}. При z=-Ф,
z" принимает значение
z" I = Arch j 1 - 2 [ It} =
|z=>-Ф I I (a-?)(*-<&) J j
= i Arccos (l - 2 Г <ф-^-?)-1т) = i <p".
I [(а-ЧГ)(6-Ф) J J T
229
Пересечением этой области со множеством {("", г") :г" = \<р"} будет {("",
2"):2"=i<p"; arg(s"- - Si )- arg(s"-5г)<ф", lms">0}.
Возвращаясь к переменным (5, z) и пользуясь областями Д2 и Аз, находим,
что еГе^(Д)П7Г' содержит
Рис. 13. Область D(t) (заштрихована) (угол ф
увеличен, а радиус круга - уменьшен).
множество {s, 2:2= -Ф, s<=D(t)}, где D(t) - область в С, определяемая
следующим образом:
?>(0= {s : arg (s - s0) < t|?} |J {s : я - i|>< arg (s + * + и0 -
3
- 2o^)<Jt} U[s: Ims > b~W tg-^- ; 0 < arg (s - St)-
- arg(s -Sa)<
(рис. 13). D(t) содержит пересечение окрестности оо с {s: Im s>0}.
Отметим, что множество
{(s, t, и, = = seZ)(^)},
230
где t\ действительно, строго отрицательно и не пересекается с
многообразием Q(s, t, и, ?) =0, и вследствие этого 1(Ш (А)) содержит
открытую окрестность Wf (t\), которая, в частности, содержит множество
вида
^ (У = {(s. и> ?/•): = т) (0 < / < 3); Im S > 0;
s >R(ti); |f - к\<e(tlt s)}.
Осуществляя очевидные перестановки, мы видим, что 1{Ж (А)) содержит также
множество ?27 (Ч) (определяемое заменой условия lms>0 на условие lms<0 в
определении ?2^ (fj)) и множества ?2ir (щ) для каждого действительного
"i<0 (или si, si<0).
Очевидно, что ?2/" (h) связывает s'+ и и'~. Имеем следующую цепь
подмножеств из I(ffl(A)), каждое из которых пересекает предыдущее и
последующее подмножества:
S'+, ?2+(7); U'~, ?2Г (sa); Г+; ?2+(щ); S'-; ?2Г&);
t/'+; ?2+(Sl); Т'-; ?2~(Uly, S'+.
Отметим, наконец, что штейнмановские тождества обеспечивают аналитичность
"абсорбтивной части" (скачок амплитуды рассеяния через S-разрез) по
переменным г и а для вещественных значений s, меньших чем "о
(абсорбтивная часть является обобщенной функцией по s). При помощи
метода, аналогичного классическим доказательствам дисперсионных
соотношений (см. лекции Хеппа), можно получить существенно более широкую
перекрестную область. Мы можем также найти плоскость s с разрезом, если
массы удовлетворяют условиям, при которых классические доказательства
дисперсионных соотношений пригодны. Однако мы можем пользоваться
интегралами Коши вдоль конечных контуров, так как мы уже знаем, что
амплитуда рассеяния анали-тична в области:
{s, z : 151 < #(0, lms=?0; zefi^,
где В, - область, содержащая вещественный интервал (-a(t), -Ф) и точки,
близкие к разрезу между -Ъ и -а. Чтобы строго вывести это доказательство,
мы
231
должны показать, что "абсорбтивная часть" может быть определена при
фиксированных ^<0, ^ =
= mj -ml как обобщенная функция по s и аналитическая функция по г и а.
Это доказательство весьма длинно и приводиться здесь ие будет. Его
преимущество заключается в том, что оно справедливо также в теории Хаага
и Араки или справедливо для регуляризованных
о. з. ф. Однако мы можем написать дисперсионное соотношение (даже если
существует необходимая аналитичность) только в том случае, когда
поведение амплитуды на бесконечности может быть контролировано (см.
лекции Хеппа).
Пользуясь свойством перекрестной симметрии и некоторыми дополнительными
предположениями относительно поведения амплитуды на бесконечности, Мартэн
дал весьма общее доказательство теоремы Померанчука.
§ 6. Заключительные замечания
Тождества Штейнмана дня га-точечной функции
Результаты § 2 и 3, гл. 3, были обобщены Бросом, который показал, что
каждому элементарному носи-
телю К (соответствующему дереву Tk, см. § 2) мы можем сопоставить
обобщенную функцию фк с носите-
лем, в К, такую, что имеет место следующее свойство: пусть S - ячейка
(SeE"+i) и Es - множество всех
элементарных носителей К, таких, что соответствующий
ж
/feH"+1 (см. гл. 1, § 2) содержит S.
Тогда
rs(*)= 2( ФкМ-
Эти уравнения "решают" тождества Штейнмана (т. е. из них вытекают эти
тождества). Выбор щ довольно произволен. Из этого разложения можно
вывести некоторые аналитические свойства.
232
Аналитичность вблизи физических точек для поточечной функции
1. Отметим прежде всего, что леммы 3.1 и 3.2 имеют обобщения на случай "-
мерных векторов (см. [52]) и могут быть использованы для того, чтобы
"свести соседние трубы". Итак, некоторые части разрезов Гж могут быть
изолированы. Однако очень трудно изолировать эти разрезы вблизи точек,
где две или больше из них пересекаются.
2. Наличие большого числа разрезов Г*, на которых лежит физическая точка
(в любом канале) в случае "-точечной функции для "^5 делает невозможным
применение метода гл. 3, § 4. Более того, существуют контрпримеры,
