Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
(z+4|Xi + +Фе0}, а именно: (z+a(f) s^O} (рис. 10). Мы хотим преобразовать
множество G\" U G2 П ((s, z) \ г + а(1)ф. &zR~) в открытое множество,
близкое к "выровненной
223
трубе", к которой мы можем применить теорему о локальной трубе из гл. 2,
§ 4. Замена переменных
преобразует его в множество вида
Ш'(Е') П {(s', z'), 0 < Inis'< я; 0<1тг'<я},
s' - lg (s - s0); z' = cos h~l
z-плоскость
G'
Ы
0
S-ПЖКОСПю
'Ы
Рис. 10. Расширение множества г; z+a(t) фR~}.
где 31' (?') - открытая окрестность множества ?':
?' = {(s', z'): 0<Ims'<rc; Imz'=n)(J {(s', z'): lms'=0; 0 < Im z' < я},
224
которое является выровненной трубой. Мы получим расширение
{(s', /): 0 < Im s' < я; 0 < Im z' < я; Im z' > Im s'),
из которого извлечем подмножество, являющееся топологическим
произведением
{(s', z'): 0 < Im s' < г|>; < Im z' < я), (3.27a)
где угол ip (0<ip<зт) выбирается так, чтобы область
(3.27) содержала точки (s', z'), соответствующие
г = -Ф. Это требует, чтобы гр<ф, где 0<ф<я и
Прообразом области (3.27) по переменной (s, z) является топологическое
произведение
А является областью (содержащей -Ф), которая содержит множество вида
где b = b(t)>a(t). Область В ограничивается двумя симметричными дугами
кругов, проходящих через -b(t) и Т и частью разреза {z : z+a(t)^R~},
лежащей между -Ь и -а; В содержит -Ф. Наконец, мы получим подобласть Д2
области еГ (Ш(А) П W):
Ag={s, z : - гр< arg(" - и0)< 0; г^В).
225
(3.28)
{(s, z) : 0 < arg(s -s0) < zGA).
{г : |arg(- ^ - z) | < x; z + a(t)(?R~}
X = 0o 11 (3.29)
и, следовательно, содержит подобласть В:
В = jz : я - х < arg | < я; г + a(t) <?R~j,
А2 = {(s, г) : 0 < arg (s - s0) < гр; Z0B}
(рис. 11). При помощи такого же метода из Gi U G3 получим аналитическое
расширение
В. Новое расширение.
Обычно легко вычислить оболочку голоморфности для объединения двух
топологических произведений по таким же переменным, как объединение двух
полидисков. Поэтому сначала извлечем из Дз подобласть Дз , которая
является топологическим произведением об-
1.71 г'
s-пласкость
-Ч> 0 s0
~ф Обметь йг
Рис. И. Построение области Д2.
ласти по переменной s и области по переменной z (рис. 12):
Дз = {(s, z): я - ф < arg (s - s2) < я; z(=B), (3.30) \ /=0 /
226
Затем извлечем из бГ'иДлиДз следующие подмножества:
Di = Gl"n {(s, z) : Im s > Im s2},
Dz = {(s, z): zGB; Im s > Im s2; sS 91 (st -f + R+)\JX(b + R~)},
где 91 (s2+R7)-открытая окрестность множества {s:s = s2-p, p>0} (Rf =-R7
- множество строго по-
Рис. 12. Построение области Д3.
ложнтельных действительных чисел), - от-
крытая окрестность множества {s:s = S! + p, р>0}, где
*-" + <3'3,)
Отметим, что Imsi = lms2.
Область (I)-это {s:Im(s-s2)>0, 0<arg(s-s0)<it>}. Область (II) содержится
в пересечении всех об ластей
(s : я -х< arg[s-z + ^ -2^- -Ф + "о]< л},
I 1
где z принимает всевозможные значения в В. Константа К равна
К _ _ 14- т?. + Ф - Мо.
Дз является топологическим произведением области В на (I) U (II),
227
Конформное отображение s" = s ~ (b-ЧГ) tg
z" = Arch (1 -2 [ -~ ^ j^~l I L (a-V)(6 + z)J J
преобразует объединения Di\jD2 в пересечение множества
{(s", z"): Im 2" < я; Im s" > 0} с окрестностью выровненной полутрубы:
{(s", z"): Im z" = я; Im s" > 0} U {(s"> *"): 0 < Im z" < я; s = s[ +p, p
> 0, или s = s" - p', p' >0j, где s\ = Resi, s" = Res2.
Полутрубой является область в Сп+' = СхСп(/г^1), которая инвариантна
относительно вещественных преобразований первой переменной, т. е. область
вида
{шее, &=Cn:(lmw, ?)e=ZXZRxCn}.
Теорема Бремермана [29] (см. также [23, 42]) дает оболочку голоморфности
такой области. Здесь мы должны пользоваться обобщением этой теоремы для
специального случая. Оно аналогично теореме о локальной трубе в гл. 2, §
4.
Лемма 3.12. Пусть т-мр(т)-действительная неотрицательная полунепрерывная
снизу функция x^R нетождественно равна нулю. Пусть ?-*-?/ (?) -
наименьшая функция, гармоническая в {?еС, Im t>0}, полунепрерывная снизу
в {?еС, ImC^O}, такая, что для всех действительных g U(%)^ф(|). Обозначим
Дф область
Дф - {(до, QGC2: Im?> 0; 0 < 1тдо< 17(C)},
и пусть Q - связное открытое множество, равное пересечению области Дф с
окрестностью "выровненной полу-трубы"
{(до, ?)ес2:Im? = 0, 0< 1тдо< <p(?)} {J U {(до,- ?)еС2: 1т? > 0, 1тдо =
0).
Оболочкой голоморфности множества Q является Дф.
228
Замечания
Эта лемма может быть доказана почти таким же методом, что и теорема о
"локальной трубе". Легко доказать также "вариант с обобщенными функциями"
этой леммы, как в случае леммы Мал-гранжа - Цернера. Если <р является
непрерывной функцией, убывающей достаточно быстро, то U(Б) может быть
вычислена с помощью формулы
ОО
1 Г (r)(t) dt
t/(Q- Im- \ (Im ? > 0),
л J Т-?
-оо
которая справедлива также тогда, когда <р(т) кусочнонепрерывна н убывает
достаточно быстро на бесконечности. В других случаях !/(?) может быть
получена процедурой стремления к пределу. Лемма 3.6 является только
примером широкого класса родственных теорем, которые читатели сами могут
