Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
связаны магнитные поля. Поэтому электрон атома, обладающий отличным от
нуля угловым моментом, должен обладать также и магнитным моментом. Чтобы
найти связь орбитального механического и магнитного моментов электрона в
атоме, рассмотрим классическую задачу о магнитном моменте электрона,
движущегося со скоростью v по кругу с радиусом г (рис. 48). При таком
движении электрона образуется "токовый листок" с площадью S = тгг2.
Угловой момент электрона
М = га [г х v]. (5.23)
Магнитный момент "токового листка" (в гауссовой системе единиц) равен
= bs = l?:-"r2*=Tcrvn' (5'24)
где п - единичныи вектор нормали к "токовому листку". Если мы учтем, что
заряд электрона q = -е, где е - абсолютная величина элементарного заряда,
то вместо (5.24) получим
Рис. 48. Магнитный и механический моменты в классической физике.
Pm = ~2^rv n-
(5.24')
Сравнивая (5.23) и (5.24'), находим
p(tm) = -icrvn = -dc
гаг х v = -
2 гас
М,
Рт = ~ШМ- <5-25>
Итак, магнитный момент электрона, движущегося по плоской орбите,
направлен в сторону, противоположную механическому моменту и связан с ним
множителем е/(2 тс). Кроме универсальных постоянных ей с, в него
входит масса га движущейся частицы - электрона. Очевидно,
что
для проекций моментов рш^ и Mz сохраняется та же связь:
Pm,z = - ,MZ. (5.26)
§22. Орбитальный магнитный момент электрона
117
Переходя к квантовой механике, как всегда, следует числовые равенства
классической физики заменять операторными равенствами. Формулы (5.25) и
(5.26) связывают операторы орбитального момента 1, орбитального
магнитного момента рт и их проекций lz и pm,z:
Р" = -Шг <5-26'>
*'"¦* = ~2тс^' <5'26,)
Эти формулы в одинаковой мере справедливы как для электрона, движущегося
в атоме с орбитальным моментом 1, так и для любых других заряженных
частиц, обладающих не равным нулю угловым моментом. Найдем правило
квантования Pm,z• Для этого в уравнение (2.28)
подставим операторpm,z =
-й^{-шаг)ф = (5'27)
Решением этого уравнения является функция
* = ^ехр(^2Ж1',-'р)' (5-28)
которая, как и функция (5.2), является однозначной, непрерывной и гладкой
лишь в тех случаях, когда
•27г = шг-2тг, (5.29)
ей
где mi -целое число.
Из (5.29) следуют правила квантования для jnz\
(5.30)
mi - магнитное квантовое число, определяющее, согласно (5.30), возможные
значения проекции магнитного момента электрона. Подставляя (5.30) в
(5.28), найдем, что при данном mi ^-функция имеет вид
ф = (1/л/2тг) ехр(гшг^).
(5.31)
118
Глава 5
Но именно такое распределение имеет ^-функция состояния с проекцией
углового момента mih. Квантовое число mi, таким образом, одновременно
определяет проекции механического и магнитного моментов. Согласно (5.6)
mi = 0, ±1, ±2, ..., ±1.
Мы пришли к выводу, который нетрудно было предсказать заранее по виду
равенства (5.26): проекции углового момента электрона lz и связанного с
ним магнитного момента определяются одним и тем же квантовым числом mi;
разница заключается только в том, что lz выражается в единицах Н, а - в
единицах Не/2тс. Единица измерения магнитных моментов электронов Не/2тс
называется магнетоном Бора:
li - "в~2
(5.32)
Формула (5.32), определяющая магнетон Бора, кроме универсальных
постоянных, содержит массу частицы. Масса протона почти в 2000 раз больше
массы электрона, а единица измерения ядерных моментов - ядерный магнетон
/jLn = he/2mpc - почти в 2000 раз меньше магнетона Бора. Поэтому
магнитные моменты ядер оказываются в тысячи раз меньше электронных и
магнитные свойства вещества в основном определяются структурой
электронных оболочек атомов и в гораздо меньшей степени зависят от
свойств атомных ядер. Самые легкие после электрона частицы - мюоны -
имеют массу, в 207 раз превосходящую массу электрона. При тех же
механических моментах они обладают в 200 раз меньшими магнитными
моментами.
В гауссовой системе единиц магнетон Бора для электрона равен /лв = 0,927
• Ю-20 эрг/Гс. Окончательно имеем
= -Цвти
тг = 0, ±1, ±2, ..., ±1. (5.33)
Правило квантования для щ, мы запишем исходя из вида равенства
(5.25') и уже известного правила квантования (5.7):
^ = 2+ ^ = + 1)? (5.34)
где I = 0, 1, 2,... - орбитальное квантовое число.
Вместо этого равен-
ства в литературе часто применяется запись
Щ (5.34)
Эта запись противоречит правилам, принятым при написании (5.10), так как
постоянная Планка h исключена из 1 и перенесена в цв• Поэтому
§23. Экспериментальное определение моментов
119
при пользовании готовыми формулами необходимо следить за размерностью и
при необходимости добавлять или исключать Н. Величина |/хг|, так же как и
|1|, никогда не встречается в приложениях. Иметь дело приходится либо с
проекциями этих векторов на некоторую ось, либо с их квадратами /х2 и I2.
Обе эти величины, как мы знаем, могут быть определены совместно.
§ 23. Экспериментальное определение угловых и магнитных моментов
В предыдущем параграфе мы выяснили, что электрон с орбитальным моментом 1
обладает магнитным моментом = -цв 1. Обсудим способы экспериментального
