Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
следует применять с осторожностью. До сих пор в этой книге мы имели дело
с двумя векторами - с вектором, определяющим координату (радиус-вектор),
и с вектором импульса. Эти величины являются векторами в классическом
смысле этого слова. Проекции радиус-вектора на все три оси декартовой
системы координат могут быть измерены одновременно. По ним можно
восстановить модуль и направление самого вектора. Аналогичное утверждение
справедливо и для вектора импульса. Принцип неопределенности не вносит
ничего нового в векторный характер каждой из этих физических векторных
величин - он только указывает на их связь и ограничивает возможность их
одновременного определения.
Иначе обстоит дело с угловым моментом. Одновременно определить можно
только квадрат и проекцию момента на одну из координатных осей (мы
выбрали ось z). Две другие проекции при этом не имеют определенного
значения. Конец вектора момента не указывает, как в классической физике,
в одну точку, а "размазан" по основанию конуса, описанного вокруг оси г.
Такие "векторы" в классической физике не встречаются. Но проекция
углового момента на ось z является обычным числом, обращение с которым не
требует никаких новых правил. Найдем связь между квантовыми числами L, и
квантовыми числами складывающихся векторов li и га^, I2 и rrii2. Для
этого рассмотрим проекции моментов на ось z (рис. 46). Обычные правила
сложения показывают, что Нгпь равно сумме hm^ и hmi2, или
|L2| = h2L{L + 1),
(5.16)
(5.17)
Lz = hmL.
mL = mh + mh-
(5.18)
Обратимся теперь к возможным значениям L. Мы уже знаем, что L должно быть
целым числом, величина которого зависит от величины
114
Глава 5
и взаимной ориентации li и Ь. Задача будет полностью решена, если будут
найдены максимальное и минимальное значения квантового числа L.
Наибольшее возможное значение L равно наибольшему возможному числу ть-
Следовательно,
?max - ^Lmax - ^Zimax + ^Z2max -^1+^2-
(5.19)
Рассмотрим геометрический смысл найденного решения. Выберем наибольший из
векторов li и Ь. Пусть это будет вектор 1ь Направим ось z так, чтобы
проекция вектора li на эту ось была максимальной, т. е. чтобы (рис. 47
а)1. Направим, далее, вектор I2 так, чтобы его
проекция на эту же ось z также была максимальной и, следовательно,
равнялась hfo- В классической физике этот случай соответствует сложению
параллельных векторов.
Минимальное значение суммарного вектора в классической физике получается
при антипарал-лельной ориентации векторов. На векторной диаграмме
моментов минимальное значение получается при такой ориентации векторов li
и I2, когда проекции этих векторов на ось z максимальны, но имеют
различные знаки. Оставим направление li прежним, а направление I2 заменим
на противоположное (рис. 47 б), проекция этого вектора на ось z теперь
равна -Ы2. Поэтому имеем
Рис. 46.
проекций
Сложение
углового
-^min - ll ^2-
Это выражение правильно лишь при li > I2. При li < I2 оно становится
отрицательным, что не имеет смысла. Правильная запись имеет вид
Lmin - |^1 I2 | • Согласно (5.19) и (5.20) имеем
(5.20)
(5.21)
Из (5.21) следует, что L может принимать 2l2 +1 значение, если li > I2, и
2/i + 1 значение, если li < I2.
"Особый" характер вектора углового момента приводит к нарушению
справедливости некоторых привычных равенств. Так, при сложении
классических
Направления оси z и вектора li, как легко видеть, при этом не совпадают,
а образуют наименьший возможный угол.
§21. Правила сложения угловых моментов
115
Рис. 47. К правилу сложения векторов углового момента: а - наибольший
суммарный момент; б - наименьший суммарный момент.
векторов максимальное значение суммарного вектора равно сумме длин
составляющих векторов:
|1^класс|тах - | L11 | L2 | •
В квантовой механике это не так. Прежде всего нужно попытаться понять,
что следует подразумевать под длиной вектора. Как мы знаем, определенные
значения одновременно могут иметь проекция вектора на некоторую ось
(которую обычно считают осью z) и его квадрат. Под длиной вектора L
(будем обозначать ее |L|) естественно понимать корень из его квадрата:
|L| = л/lA Легко видеть, что в квантовой механике
|Lmax| ^ |li| + |l2|, (5.22)
причем равенство возможно только в том случае, если li или Ь равно нулю.
В самом деле, чтобы доказать сказанное, достаточно заметить, что
~j^2 1^1 max ~ -^max(-^max + 1) - (Zl + ^)(^1 + /2 + 1) -
- l\(l\ + 1) + I2Q2 + 1) + 2/1/2 ^ /1 (/1 + 1) + /2(/2 + 1) +
+ 2y/h(h + 1) л/ /2 (/2 + 1)-
Аналогичным образом можно показать, что
|Lmin| ^ ||li| - |12||. (5.22')
По этому же правилу находится суммарный момент частицы, если она
участвует одновременно в двух вращениях.
Если система состоит не из двух, а из многих частиц, то квантовое число
L, определяющее результирующий момент L = li + I2 + I3 + • • находится
путем последовательного применения правила (5.21).
116
Глава 5
§ 22. Орбитальный магнитный момент электрона
Из курса электродинамики известно, что со всяким электрическим током
