Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
аномального магнитного момента электрона.
На опыте наблюдается также эффект, обратный эффекту Эйнштейна и де Гааза:
при закручивании ферромагнитных стерженьков происходит их намагничивание.
Этот эффект наблюдался впервые Барнетом и носит его имя.
§ 26. Полные угловой и магнитный моменты электрона
Полный момент импульса электрона обозначается j и складывается из
орбитального 1 и спинового s моментов:
j = 1 + S.
(5.44)
§26. Полные угловой и магнитный моменты электрона
127
Правила сложения моментов не зависят от того, являются ли моменты
орбитальными или спиновыми. Поэтому квантовое число j (его иногда
называют внутренним квантовым числом), определяющее полный угловой момент
электрона, равно
j = \l±s\ = \l±l/2\. (5.45)
При I 0 j принимает два значения, при I = 0 j = 1/2; j и j связаны
обычным соотношением:
j2 = h2j(j + !)¦ (5-46)
Проекция полного момента электрона на какое-нибудь направление
(например, направление внешнего магнитного поля) квантуется по очевидному
правилу
jz=hrrij, (5.47)
где rrij = ±j, ±(j - 1), ±(j - 2),... (всего 2j + 1 значений).
Сложение спинового и орбитального моментов электрона приводит к сложению
соответствующих магнитных моментов. Строгое теоретическое рассмотрение
этого вопроса сопряжено с серьезными математическими трудностями.
Читателей, интересующихся этим вопросом, мы отсылаем к учебникам по
квантовой механике. Здесь мы рассмотрим сложение магнитных моментов с
помощью векторной модели.
На рис. 52 сплошными линиями изображены угловые моменты s, 1 и суммарный
момент j; за единицу длины этих векторов выбрана постоянная Планка h. На
том же рисунке изображены магнитные моменты fis и fix, за единицу длины
векторов магнитных моментов выбран магнетон Бора. При таком выборе единиц
вектор щ имеет ту же длину, что вектор 1, а вектор //, оказывается вдвое
длинее, чем s. Суммарный вектор магнитного момента /х поэтому не
параллелен вектору j. В центральном электрическом поле атома (как и во
всяком центральном поле) вектор j сохраняет модуль и направление. Векторы
s и 1 направления не сохраняют из-за наличия магнитного взаимодействия.
Вместе с тем модуль s не меняется (s = 1/2). Сохраняется и модуль вектора
1. Эта картина соответствует вращению векторов s и 1 вокруг суммарного
вектора j. Вместе с s и 1 вокруг j вращаются ц3, щ и /хсум. При таком
вращении у вектора /хсум будет сохраняться
Рис. 52. Векторная модель сложения магнитных моментов.
128
Глава 5
только проекция fij на направление вектора j. Проекция, перпендикулярная
к направлению j, быстро вращается, ее среднее взаимодействие со внешними
магнитными полями равно нулю, и среднее значение самой проекции также
равно нулю. Таким образом, поведение электрона во внешних полях
характеризуется проекцией суммарного магнитного момента на направление
полного момента (ij-
Поскольку векторы j и /х - параллельны друг другу, можно записать:
Коэффициент пропорциональности д для частиц носит название гиромагнитного
отношения, а для атомных электронов называется фактором Ланде. Как
нетрудно понять, гиромагнитное отношение равно отношению магнитного
момента, выраженного в числе магнетонов Бора, к механическому моменту,
выраженному в числе постоянных Планка.
Рассчитаем фактор Ланде с помощью векторной модели. Суммарный
механический момент равен
= ~дИвУ
(5.48)
j = 1 + S,
а суммарный магнитный момент определяется формулой
-Я'сум = цв\ +
Проекция /х на j равна
= Цв
lj + 2sj
|j I
Вектор /ij равен поэтому
lj + 2sj
^-ив] = див]-J
Множитель Ланде g, следовательно, равен
9 = + 2sj) = p [1(1 + s) + 2s(l + s)]
l2 + 2s2 + 3sl
J
Умножим это соотношение на j2:
gf = l2 + 2s2 + 3sl.
§27. Тонкая структура уровней атома водорода 129
При переходе к квантовой механике j2, I2, s2 и si следует заменить их
операторами (напоминаем, что фактор Ланде д - это просто число и в замене
не нуждается):
9? = Т2 + 2s2 + 3(sl).
Найдем среднее значение д]2. Мы уже отмечали (см. (2.26')), что
операторные равенства приводят к равенству средних величин. Поэтому
^((j2)) = ((l2))+2((s2))+3((sl)).
Средние значения j2, I2 и s2 нам известны: это j(j + l), /(/ + 1) и 5(5 +
1). Среднее значение si можно вычислить следующим образом. В классической
физике
j =s + l.
Возведем это равенство в квадрат и выделим член 2sl в левую часть:
2sl = j2 - s2 - l2.
Рассматривая это равенство как операторное и снова заменяя его равенством
средних величин, найдем
({s\)) = \[j(j + l)-l(l + l)-s(s + l)}.
Найденные выражения следует подставить в формулу для д. Подстановка дает
9=1+j(j+i>+y+i)-<(i+i> (
2 ЗКЗ + 1)
§ 27. Тонкая структура уровней атома водорода и водородоподобных атомов
Вернемся к атому водорода. Формула (5.12) для энергии уровней водорода и
водородоподобных атомов была получена при решении уравнения Шредингера,
т. е. нерелятивистского уравнения, не учитывающего спина электрона.
Волновое уравнение, учитывающее релятивистскую зависимость массы от
скорости и спин электрона, было предложено Дираком (1928 г.). Решением
