Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
особой ценности и с точки зрения математики является очевидным. В самом
деле, любая однозначная непрерывная функция азимутального угла (р
периодична с периодом 2тг. Согласно теореме Фурье любая такая функция
может быть разложена в ряд (5.4). Таким образом, формула (5.4) не
накладывает никаких ограничений на вид ^-функции.
Здесь следует предостеречь читателя от поспешных выводов. Если в начале
рассуждений могло показаться, что квантование проекции
§18. Угловой МОМЕНТ
101
углового момента требует полного пересмотра всех представлений о
пространстве, то недостаточно внимательное чтение этого параграфа может
создать впечатление, что вообще ничего существенно нового как будто и не
возникло. Оба вывода неверны. Смысл и важность полученных результатов
огромны. Они будут обсуждаться на протяжении всей книги.
Квадрат углового момента. Найдем теперь возможные значения квадрата
углового момента М2.
Прямой подход к решению этой задачи требует решения уравнения,
получающегося при подстановке в (2.28) оператора квадрата углового
момента М2:
М2ф = М2<ф.
Однако оператор М2 имеет громоздкий вид и решение задачи требует
знакомства со специальными функциями (с полиномами Лежандра). Поэтому мы
подойдем к задаче о нахождении возможных значений квадрата углового
момента с несколько другой стороны.
В классической механике квадрат углового момента равен сумме квадратов
его проекций на координатные оси:
М2 =М2 + М2 + М2.
В квантовой механике это равенство следует понимать как формулу,
связывающую соответствующие операторы,
М2 = М2 + М% + М2.
и средние значения,
(М2) = (М2) + (М2) + (М2).
Рассмотрим частицу, движущуюся в сферически-симметричном поле. Пусть
квадрат ее углового момента имеет некоторое определенное значение.
Задание квадрата углового момента определяет состояние частицы не
полностью, так как при этом проекция углового момента на ось z может
принимать разные значения. Нас будет интересовать сфери-чески-
симметричное состояние частицы с заданным значением квадрата момента. Так
как ось z ничем не выделена из остальных координатных осей, то при
сферически-симметричном состоянии частицы
(М2) = {М2) = (М2)
и, следовательно,
{М2)=ЦМ2).
(5.5)
102
Глава 5
Симметричное решение, конечно, не обладает какой-либо определенной
проекцией углового момента, так как все такие состояния ограничивают
область углов, в которых может находиться вектор М. Оно является
суперпозицией решений со всеми возможными проекциями Mz. Более того, в
симметричном решении все проекции на любую ось, в том числе и на ось г,
равновероятны и потому представлены с одинаковым весом. Поэтому (М2)
равно среднему из всех возможных значений М2. Согласно (5.3) возможные
значения Mz равны целому числу постоянных Планка Н:
Mz = 0, ±1Й, ±2Й, ..., =Lramax/i.
Максимальное значение проекции момента Mz по модулю не может превышать
\М\. Обозначим максимальное значение га через I, так что шгаах = I- Мы
уже знаем, что I - целое положительное число. Выпишем полный набор
возможных значений Mz и га:
mz = ik, (z-i)ft,(~i)h,
т = l, (l - 1), ..., 1, 0, -1, ..., - I. (5.6)
Мы видим, что при всяком данном I проекция момента Mz может принимать 21
+ 1 различных значений: одно нулевое, I положительных и I отрицательных.
Среднее значение (М2) равно поэтому
(М2) - fi2?2 + (?~1)2 + --- + (~02 _ 2h2 l2 + 22 + ... + l2
_
(tm)-n 21 + 1 ~Ztl 21 + 1
_ 2Н2 1(1 + l)(2l + 1) _ h2 U1 ,
~ 21 + 1 6 ~ 3^ + 4-
Подставив полученное значение (M2) в (5.5), получим
M2 = h2l(l +1), (5.7)
где I - целое положительное число (или нуль).
Формула (5.6) перечисляет все значения Mz, возможные при данном I.
Равенство (5.7) определяет закон квантования квадрата углового момента.
Сравнение формул (5.6) и (5.7) показывает, что < М2 при
любом значении I > 0, так как M2max = h2l2, а М2 = frl(l + 1). Этот
результат, непонятный в рамках классической физики, легко объясняется в
квантовой механике. Исследование показывает (мы примем этот
§ 19. Вращательные уровни молекул. Молекулярные спектры 103
результат на веру), что проекции момента на две различные оси, например
Mz, и Мх, не могут быть одновременно известны, для них существует
соотношение неопределенности, аналогичное соотношению неопределенности
для координаты и импульса. Зафиксировав состояние с определенным Mz, мы
вносим неопределенность в проекции Мх и Му. Средние значения (М2) и (М2)
в таких "размазанных" состояниях, конечно, отличны от нуля: (М2) > 0,
(М2) > 0. Поэтому
М2 = ({Ml) + (М2) + (М2)) > м2.
В отличие от двух проекций вектора М, квадрат момента М2 и одна из его
проекций, например Mz, могут быть определены одновременно. (Мы примем это
утверждение также без доказательства.) Более того, в квантовой механике
доказывается, что задание Mz и М2 полностью определяет вращательное
состояние частицы.
Обратимся к математическому смыслу полученных формул. Состояние с данным
М2 определяется заданием одного (или набора) из 21 + 1 возможных значений
