Оптика - Годжаев Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
электромагнитное излучение, находящееся в замкнутой полости с постоянной
температурой стенок, рассматривалось им как система стоячих волн разных
частот, распространяющихся во всевозможных направлениях. Частоты
образовавшихся стоячих волн должны удовлетворять тем же условиям, что и
частоты стоячих упругих волн в стержне. При колебаниях упругого стержня
на его закрепленных концах образуются узлы смещения и на длине стержня L
укладывается целое число полуволн:
L = m(X/2). (14.23)
Так как X - v/v, то из (14.23) для набора собственных частот получаем
v = m(v/2L), (14.24)
где v-скорость распространения волны.
По Рэлею, число собственных частот, укладывающихся в интервале (v, v +
dv), пропорционально объему полости V, квадрату частоты и ширине
интервала, т. е. dN ~ Vv2dv Пользуясь законом равномерного распределения
энергии равновесной системы по степеням свободы и учитывая, что па каждую
колебательную степень свободы в классической физике приходится энергия,
равная kT (1/2 • kT на кинетическую, 1/2 • kT на потенциальную), Рэлей
получил следующее выражение для излучательной способности абсолютно
черного тела:
e(v, Т)г^угкТ,
где k - постоянная Больцмана.
Формула Рэлея-Джинса. Используя идею Рэтея, Джинс провел точные
вычисления и, определив коэффициенты пропорциональ-
* Исходя из термодинамики, можно доказать, что для равновесного излучения
х/Т = const.
330
ности, нашел, что
е (v, Т) - (2jtv2/c2) kT.
(14.25)
Формула (14.25) носит название формулы Рэлея-Джинса.
"Ультрафиолетовая катастрофа'). Как показал опыт, формула Рэлея-Джинса
согласуется с экспериментальными данными только в области достаточно
малых частот и больших температур. Кроме того, оказалось, что попытка
получить закон Стефана-Больцмана из формулы Рэлея-Джинса приводит к
абсурду (образно названному П. Эренфестом "ультрафиолетовой
катастрофой"). В самом деле,
СО СО
е(Л = \ ^kTdv = ^ j v2dv = со! (14.26)
о о
Равенство интегральной излучательной способности бесконечной величине
означает, что равновесие между телом и его излучением установится только
при температуре тел, равной абсолютному нулю. Это противоречит опытным
данным, так как тела находятся в равновесии с излучением при
произвольной, отличной от нуля температуре.
§ 6. ФОРМУЛА ПЛАНКА
На рис. 14.4 показаны экспериментальное спектральное распределение
энергии излучения абсолютно черного тела при постоянной температуре
(сплошная кривая 1) и теоретическая кривая Рэлея- Джинса (пунктирная
кривая 2). В рамках классической физики не удается, как это мы видели,
описать теоретически всю экспериментальную кривую; другими словами,
невозможно определить явный вид функции Кирхгофа при любой температуре и
частоте. Эта задача в начале нашего века (1900 г.) была успешно решена М.
Планком.
Формула Планка. Уподобив равновесное излучение системе совокупности
линейных гармонических осцилляторов со всевозможными собственными
частотами от нуля до бесконечности, Планк пытался применить
термодинамический подход для нахождения функции Кирхгофа. Ему удалось
подобрать эмпирическое выражение
e(v, Т) = a1v3/(e 2 7 - 1),
(14.27)
которое блестяще согласовалось с экспериментальными данными при любой
частоте и температуре. Здесь ах и а2 - постоянные величины.
331
Для теоретического обоснования формулы (14.27) Планк выдвинул смелую
гипотезу, в корне противоречащую принципам классической физики. Не
вдаваясь в подробности вывода формулы (ее вывод будет дан в начале
следующей главы), представим знаменитую формулу Планка для излучательной
способности абсолютно черных тел в виде
где h-постоянная Планка, равная 6,67-10~27 эрг-с. Эта формула хорошо
описывает сплошную кривую 2 на рис. 14.4.
Поскольку формула Планка справедлива при любых частотах и температурах,
то из нее должны следовать все известные законы теплового излучения.
Убедимся в этом.
Вывод закона Стефана-Больцмана из формулы Планка. Исходя из формулы
Планка, излучательную способность абсолютно черного тела можно определить
следующим образом:
Следовательно, мы не только получили закон Стефана-Больцмана
(14.29), но и нашли выражение для постоянной о, с помощью которого можно
вычислить эту постоянную.
Надо отметить, что, как это следует из формулы (14.28), среднее значение
энергии осциллятора, приходящееся на каждую степень свободы, в
действительности не является постоянной величиной, а зависит от частоты.
С увеличением частоты эта энергия уменьшается, что является причиной
предотвращения отмечавшейся выше "ультрафиолетовой катастрофы".
Вывод правила смещения Вина из формулы Планка. Исходя из формулы Планка,
найдем длину волны, соответствующей макси-
(14.28)
СО
ОО
е (Т) = ^ е (v, Т) dv
о
о
о
Обозначив х = hv/kT, получим отсюда
е (Г) = аТ\
(14.29)
где
СО
О
-jg-, то, следовательно.
_ 2л%4 ° - 15с%3 '
СО
т, С х3 dx
Так как V [
(14.30)
332
мальной излучательиой способности:
е (X, Т) - е (v, Т) kf-,__ 1 >
he hc[kTXr и d"(K, Т) _ 2л/гг8 /гПм e 0
