Оптика - Годжаев Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
Если излучательную способность абсолютно черных тел обозначить через e(v,
Т), то, поскольку A(v, Т) = 1, получим
E(v, Т)/А (v, Т) = е (v, Г)/1=/(т, Т),
т. е. e(v, Т) = f(v, Т). Следовательно, универсальная функция Кирхгофа
есть не что иное, как излучательиая способность абсолютно черного тела.
Теперь закон Кирхгофа можно переписать в виде
Е (у~, Т)/А (v, Т) - 8 (v, Т),
т. е. для всех тел отношение излучательной способности к поглощательной
равно излучательной способности абсолютно черного тела при той же
температуре и частоте. Таким образом, e(v, Т) является универсальной
величиной и поиск ее явной зависимости от частоты и температуры является
важной задачей теории теплового излучения.
Вывод закона Кирхгофа. Выведем закон Кирхгофа, исходя из
термодинамических соображений. Пусть внутри полости с идеально
отражающими стенками, непроницаемыми для электромагнитных волн, находятся
два тела: М ¦- абсолютно черное и N - произвольное (нечерное) тело (рис.
14.2). Очевидно, что с течением времени установится динамическое
равновесие между излучением внутри полости и телами Mn N, принимающими
одинаковую температуру Т, другими словами, каждое из тел будет поглощать
столько же энергии, сколько излучает. Так как абсолютно черное тело М с
единицы поверхности в единицу врет ^ки в интервале частот dv излучает
энергию e(v, Т) dv, то очев1 дно, что на единицу поверхности каждого из
тел (М и N) в единицу времени в том же интервале частот падает энергия в
количестве, раьном ?(v, T)dv. Если излучательную и поглощательную
способное!и тела N обозначить соответственно через E(v, Т) и A(v, Т), то
количества энергии излученной и поглощенной единицей поверхности в
единицу времени в интервале частот шириной dv будутE(v, 'I)dvuA(v, T)e(v,
T)dv соответственно. Из-за установившегося динамического равновесия эти
количества энергий будут равными, т. е.
Е (v, T)dv = A(v, Т) е (v, T)dv.
Отсюда следует, что
E(v, T)/A(v, Т) = г (v, Т).
§ 3. ЗАКОН СТЕФАНА-БОЛЬЦМАНА
Формула Стефана-Больцмана. В 1879 г. Стефан, анализируя экспериментальные
результаты, полученные как до него, так и им самим, установил, чго
интегральная (просуммированная ло всем.
325
частотам) йзлучательная способность тел пряма, пропорциональна четвертой
степени абсолютной температуры:
СО
Е (Т) Е (v, Т) dv = аТ\ (14.4)
о
гпр а - постоянная величина.
Приведенные в дальнейшем многочисленные опыты показали, что формула
(14.4) имеет место не для произвольных тел, а только для абсолютно черных
тел. На основе опытных данных был определен коэффициент
пропорциональности: а = 5,672<П0^12Вт/см2 • град4.
В 1884 г. Больпман. пользуясь термодинамическим методом, теоретически
доказал, что йзлучательная способность абсолютно черного тела
пропорциональна четвертой степени его абсолютной температуры, т. е.
* е (Г) = оГ4. (14.5)
Выражение (14.5) получило название формулы Стефана - Больцмана.
Вывод формулы Стефана- Больцмана. Выведем (14.5), исходя из
термодинамических соображений. Рассмотрим равновесное излучение,
находящееся внутри цилиндра с непроницаемыми для электоо-магнитных волн
стрнкямйГТТялпчир поршня в цилиндре позволяет нам изменять объем,
занимаемый излучением. В исходном состоянии излучение характеризуется
объемом V, давлением Р, температурой Т.
Применим к рассматриваемому излучению известное уравнение термодинамики
TdS = dW + PdV, (14.6)
являющееся обобщенной формой первого и второго начал термодинамики. Здесь
dS, dW и dV есть изменения соответственно энтропии, внутренней энергии и
давления системы. Так как внутренняя энергия является функцией объема и
температуры, имеем
W = (%)vdT+(Z)rdv- (14-7)
удТjv 1 \dVjT Подставим (14.7) в (14.6):
ds = r{"),dT+T'{"\dv+i-dv- <14'8>
Отсюда
(dS\ _ 1 fdW\
VdTJv ~ Т[дт)
IV
Если взять производную по V в первом уравнении (14.9) и производную по Т
во втором уравнении (14.9), то из-за равенства левых частей получим для
правых частей
T{w)v = {"),+P- <14Л0>
326
При изотермическом изменении объема плотность энергии излучения не
меняется, т. е. W - W(T). Тогда при данном значении объема излучения его
энергия станет равной W = w(T)V. Ввиду изотропности излучения давление,
оказываемое им на стенки цилиндра, будет равно Учитывая это в (14.10),
получим
rrdw .
dT~
Отсюда
v=4f- <Ш1>
Интегрируя (14.11), получим:
In w = 4 In Т + In const
и
w (Т) = const -Г4. (14.12)
Так как объемная плотность излучения есть величина, прямо
пропорциональная излучательной способности, то из (14.12) получаем
е (Т) = const ¦ Г4, (14.13)
т. е. приходим к формуле Стефана-Больцмана.
Предпринимались попытки обобщить формулу Стефана-Больцмана на случай
произвольного тела. С этой целью ей придавали вид
Е(Т) = В-Та, (14.14)
где В и п являются определенными для конкретных тел величинами. Однако
эти попытки потерпели крах, так как оказалось, что как
В, так и л не являются постоянными для одного и
того же тела
величинами, а меняются с температурой.
§ 4. ЗАКОН ВИНА
