Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
4. Контрастность колец и факторизация
В предыдущем разделе мы связали понятие когерентности со свойством факторизации корреляционной функции главным образом из соображений математического удобства. Затем мы показали, что свойство факторизации предполагает выполнение условия (7.4) для
абсолютного значения корреляционной функции, т. е. условия максимальной контрастности колец. Покажем теперь, что выполнение последнего условия для всех пространственно-временнйх точек предполагает факторизацию. (Доказательство взято из статьи Титульера и Глаубера, которая будет опубликована.) Соотношение
! G(1) (хи х2) |2 = G(1) (хи Xl) G(1) (х2, х2) (7.25)
накладывает серьезные ограничения на оператор плотности для поля. Эти ограничения можно найти, если заметить, что (7.25) означает существование оператора А, такого, что
Sp(Q^) = 0. (7.26)
Чтобы получить этот оператор в явном виде, выберем произвольную пространственно-временную точку х0, в которой интенсивность поля не равна нулю, G(1) (х0, х0) ф 0; пусть
А-#+,Ы-т$?й*+'Ы- <7-27>
отсюда следует, что
Sp (qA'A) = G(1) (х, х0) -i^))(go’|fj- - 0 (7.28)
для всех точек х. Оператор плотности g можно записать в виде
среднего от произведения векторов состояния системы
Q = 2 Pi I 0 <*' |. (7-29)
i
где все вероятности pt положительны. Равенство нулю шпура (7.26) означает, что
2м;|ЛМ|г) = 0. (7.30)
i
Так как все члены, входящие в сумму, существенно положительны, то
(i\A*A |г) = 0 (7.31)
для всех состояний |t), для которых рг =/=0. В свою очередь соотношение (7.31) означает, что состояния | г) являются собственными состояниями оператора А с нулевым собственным значением
А | г) = 0. (7.32)
Итак мы показали, что равенство нулю шпура (7.26) означает выполнение следующих двух соотношений для операторов:
Лд = дЛ* = 0. (7.33)
Так как эти соотношения выполняются, когда оператор А принимает значение (7.27), то оператор плотности должен удовлетворять двум тождествам:
?<+> (JC) е = С^о) е, (7-34)
= (7.35)
Эти тождества можно использовать для смещения аргументов корреляционных функций к общей начальной точке х0. Если в первом из этих тождеств положить х = х2, а во втором положить x = xit то получаем соотношение
sP [„?<-> (*,)?<+)te)]=;?g^x
X Sp [q?( ) (x0)Ei+) (*o)]
G(1) (-«o. x2)
G(1> (xq, x0) ’
которое можно записать как функциональное тождество
G(1)(ati, хг) =
G(1) (JCi, х0) G<i) (х0, х2)
G(1) (х0, х0)
Теперь остается только записать функцию % (х) в виде
Ш (х) = °Л){Хо' х\, , (7.36)
[G<D (х0, *0)]1/з
чтобы убедиться, что корреляционная функция первого порядка принимает факторизованный вид
G(i)(Xl, хг) = Ш*(х1)Ш(хг). (7.37)
Мы не будем повторять доказательство для не полностью поляризованных полей, когда корреляционные функции имеют тензорную форму. Для доказательства в этом случае следует лишь считать время и каждую пространственную координату отдельным тензорным индексом.
Лекция 8
I. Интерпретация опытов с интенсивностными
интерферометрами
В предыдущей лекции мы рассмотрели опыт Юнга как типичный пример интерференционных опытов, в основе которых лежит измерение корреляционной функции первого порядка. Аналогичный характер имеют все прежние интерференционные опыты. В лекции 2 мы рассмотрели некоторые новые эксперименты принципиально другого типа, а именно интерферометрические опыты Хэнбери Брауна и Твисса, в которых измерялась корреляционная функция поля второго порядка. Мы дали простой классический анализ причин появления интерференционных колец в интерферометре, когда поле возникает от двух источников с малым угловым расстоянием. Представляет интерес исследовать происхождение тех же колец методами квантовой механики.
Напомним, что интерферометр Хэнбери Брауна и Твисса регистрирует подающее поле двумя различными приемниками. Следовательно, фотоны должны участвовать в интерференционном эффекте парами, т. е. сигнал на выходе возникает только тогда, когда различные фотоны попадают на каждый из двух детекторов примерно в одно и то же время. Именно здесь возникает серьезная дилемма: следует ли считать правильным утверждение Дирака о том, что «интерференция между двумя различными фотонами никогда не происходит».
Общие соображения об интерференции, изложенные в лекции 7, ясно показывают, что никакой дилеммы в этом случае не существует. Объекты, которые необходимо рассматривать как интерферирующие или неинтерферирующие, строго говоря, представляют собой не фотоны, а альтернативные «предыстории» системы как целого.
